ガンマ分布の期待値

「形状が$ \ alpha > 0 $でレートが$ \ beta > 0 $のガンマ分布の確率変数に関するものであると仮定します。パラメータ、つまり$ X \ sim Gamma（\ alpha、\ beta）$の場合、次の方法で$ \ mathbb {E} [\ frac {1} {X ^ 2}] $を見つけることができます。

$ f $が確率密度関数を表す連続分布の確率変数X（ガンマなど）の場合（この例では、$ f（x）= \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma（\ alpha）} x ^ {\ alpha –1} e ^ {-\ beta x} $）およびこの変数の任意の関数$ g $（この場合は$ g（x）= \ frac {1} {x ^ 2 } = x ^ {-2} $）、次のようになります：$$ \ mathbb {E} [g（x）] = \ int \ limits _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} g（x）f（x ）dx $$

この例では、非常に単純化されています（$ -3 $に注意してください）：$$ g（x）f（ x）= \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma（\ alpha）} x ^ {\ alpha-3} e ^ {-\ beta x} $$分数は$ x $に依存しません、したがって、積分の外側に置くことができます。

ちなみに、離散分布の場合は非常に似ています：$$ \ mathbb {E} [g（x）] = \ sum \ limits_ {x \ in \ mathcal {X}} g（x）f（x）、~~ \ text {where}〜\ mathcal {X}〜\ text {はX（取ることができる値のセット）のサポートを示します} $$

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私はもうあなたをサスペンスに陥らせません。まず、$ \ Gamma（\ alpha + 1）= \ alpha \ cdot \ Gamma（\ alpha）$であることを思い出してください。

$ f _ {\ alpha}（x）= \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma（\ alpha）} x ^ {\ alpha-1} e ^ {-\ beta x} $。これら2つの結果を組み合わせると、簡単な観察結果が得られます。$$ x \ cdot f _ {\ alpha}（x）= \ frac {\ alpha} {\ beta} \ cdot f _ {\ alpha + 1}（x）$$連続して：$ $ \ frac {f _ {\ alpha + 1}（x）} {x} = \ frac {\ beta} {\ alpha} \ cdot f _ {\ alpha}（x）$$これを2回使用すると、結果が得られます。 ：

$$ \ frac {f _ {\ alpha}（x）} {x ^ 2} = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {f _ {\ alpha- 1}（x）} {x} = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} {\ alpha-2} \ cdot f _ {\ alpha-2}（x）$$最終的に（$ f _ {\ alpha-2}（x）$もPDFであり、整数は$ 1 $に等しいため）：$$ \ mathbb {E}（\ frac {1} {X ^ 2}）= \ int \ limits_ { -\ infty} ^ {+ \ infty} \ frac {f _ {\ alpha}（x）} {x ^ 2} dx = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} { \ alpha-2} \ cdot \ int \ limits _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} f _ {\ alpha-2}（x）dx = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} {\ alpha-2} $$上記の解決策はこの特定のケース向けですが、 whuber が指摘したように、実際の正の$ p \ in \ mathbb {R}のより一般的なケース、〜p > 0 $保持：$$ \ mathbb {E}（X ^ p）= \ beta ^ p \ cdot \ frac {\ Gamma（\ alpha + p）} {\ Gamma（\ alpha）} $$

コメント

• @TJ Phu本当に問題があること、おそらくこの積分の計算について教えてください。とにかく、私たちに知らせてください。ただし、 gung と Silverfish のコメントに従って、質問の全体的なレイアウトを改善してください。
• @TJPhu生で行うことについての私の最初の発言かもしれません。統合は少し誤解を招くものでした。私の解決策を完全に理解しているかどうかを教えてください（単に私の答えまたはwhuberの答えを受け入れる/ティックすることによって）。

私はそれを怠惰な方法で行います：定義から始めて、何が起こるかをよく見ることによって、誰かがすでに私に答えを示しているかどうかを確認してください。以下では、計算はまったく必要なく、代数に従うために必要なのは（指数と積分の）非常に単純なルールだけです。

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ガンマ分布から始めましょう。 $ X $ の測定単位を選択します。 $ \ beta = 1 $ とすると、次のようになります。 $ X $ には $ \ Gamma（\ alpha）$ の分布があると言っても過言ではありません。これは、密度が正の値に対してのみ正であることを意味します。ここで、確率密度要素は次の式で与えられます。

$$ f_ \ alpha（x）dx = \ frac {1 } {\ Gamma（\ alpha）} x ^ {\ alpha} e ^ {-x} \ frac {dx} {x}。$$

（興味がある場合は、式 $ dx / x $ は、 https://stats.stackexchange.com/a/185709 で説明されています。 a>。気に入らない場合は、 $ x ^ \ alpha dx / x $ を $ x ^ {に置き換えてください。 \ alpha-1} dx $ 。）

$ f_ \ alpha（x）dxの積分を行うために正規化定数があることを思い出してください。 $ 単一性、それを推測できます

$$ \ begin {aligned} \ Gamma（\ alpha）& = \ Gamma（\ alpha）（1）= \ Gamma（\ alpha）\ int_0 ^ \ infty f_ \ alpha（x）dx = \ frac {\ Gamma（\ alpha）} {\ Gamma（\ alpha ）} \ int_0 ^ \ infty x ^ {\ alpha} e ^ {-x} \ frac {dx} {x} \\ & = \ int_0 ^ \ infty x ^ { \ alpha} e ^ {-x} \ frac {dx} {x}。 \ end {aligned} \ tag {1} $$

番号は関係ありません $ \ Gamma（\ alpha） $ は実際にはそうです。 $ \ alpha \ gt 0 $ が提供され、そうでなければ発散する場合は、明確に定義され、有限であることを確認するだけで十分です。

それでは、期待のルールに移りましょう。無意識の統計学者の”法則”は、 $ X $の関数への期待を示しています、たとえば $ X ^ p $ のパワー $ p $ （通常は正ですが、負の場合もあり、複雑な場合もあります）、密度に対して $ x $ の関数を統合することで得られます：

$$ E [X ^ p] = \ int_0 ^ \ infty x ^ p \ frac {1} {\ Gamma（\ alpha）} x ^ {\ alpha} e ^ {-x} \ frac { dx} {x}。$$

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じっと見つめる時間です。積分を無視すると、被積分関数は十分に単純な式です。代数の規則を使用してそれを書き直し、その過程で、 $ 1 / \の定数値を移動しましょう。積分からのガンマ（\ alpha）$ ：

$$ E [X ^ p] = \ frac {1} {\ Gamma（ \ alpha）} \ int_0 ^ \ infty x ^ {p + \ a lpha} e ^ {-x} \ frac {dx} {x}。\ tag {2} $$

それはひどく見覚えがあるはずです： it ” ■別のガンマ分布密度関数と同じですが、 $ \ alpha $ の代わりに $ p + \ alpha $ の累乗を使用します。スパン>。式 $（1）$ は、すぐに、それ以上考えたり計算したりすることなく、

$$ \ int_0 ^ \ infty x ^ {p + \ alpha} e ^ {-x} \ frac {dx} {x} = \ Gamma（p + \ alpha）。$$

これを $（2）$ の右側に接続すると

$$ E [X ^ p] = \ frac {\ Gamma（p + \ alpha）} {\ Gamma（\ alpha）}。$$

（の実数部） $ p + \ alpha \ gt 0 $ これを収束させるために、前述のように。

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再確認として、式を使用して最初の数モーメントを計算し、それらをたとえばウィキペディアによると。取得する平均値

$$ E \ left（X ^ 1 \ right）= \ frac {\ Gamma（1+ \ alpha）} {\ Gamma （\ alpha）} = \ alpha $$

そして2番目の（生の）瞬間

$$ E \ left（X ^ 2 \ right）= \ frac {\ Gamma（2 + \ alpha）} {\ Gamma（\ alpha）} = \ alpha（\ alpha + 1）。$$

したがって、分散は $$ E \ left（X ^ 2 \ right）-E（X）^ 2 = \ alpha（\ alpha + 1）-\ alpha ^ 2になります。 = \ alpha。$$

これらの結果は当局と完全に一致しています。 $ \ alpha \ gt 0 $ なので、両方の $ \ alpha + 1 \ gt 0 $ と $ \ alpha + 2 \ gt 0 $ 。

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これで、 $ p = -2 $ を入力して、元の質問について結論を出します。答えが存在する条件を確認することを忘れないでください。また、 $ X $ の単位を元の単位に戻すことを忘れないでください。これにより回答に $が掛けられます。 \ beta ^ p $ （または $ \ beta ^ {-p} $ は、 $ \ beta $ はスケールまたはレートです。