迅速な導出

ヤングラプラスの法則では、$$ p-p_0 = \ frac {2 \ gamma} {R} $$であるのに対し、理想気体の状態方程式は次のようになります。 as $$ p = \ frac {Nk_BT} {V} $$ $ R $を解き、球形のバルーンを扱っていると仮定します（$ V = \ frac {4} {3} \ pi R ^ 3 $、$ A = 4 \ pi R ^ 2 $）であり、弾性はフーキー力（ゼロサイズで平衡状態）、$ \ gamma = \ alpha A $、$$ \ left（\ frac {Nk_BT} {\ frac {4} {3 } \ pi p} \ right）^ {1/3} = R = \ frac {p-p_0} {8 \ pi \ alpha} $$

代数を単純化するために、$ p_0 = 0 $なので、$ p \ propto T ^ {1/4} $になります。

もう少し厳密な導出

簡単にするために、外圧はゼロです。ゼロ以外の圧力を追加するのは簡単ですが、方程式が少し醜くなります。

理想気体の$ N $分子で満たされた球があり、分配関数を$$ \ mathcal {Z} = \ iint \ mathrm {d} ^ {3N}と書くことができるとします。 p \ \ mathrm {d} ^ {3N} r \ \ e ^ {-\ beta（\ mathcal {H} + \ gamma A）} $$

つまり、$$ \が残ります。 mathcal {Z} = CV ^ N e ^ {-\ beta \ gamma A} $$

ここで、$ R $、$$ N \ frac {A} {Vに関して自由エネルギーを最小化します。 } = \ beta \ partial_R（\ gamma A）$$

ゴムをHookeanにすると、$ \ gamma = \ alpha A $、最終的にバルーンのサイズが得られます：$$ R = \ left（\ frac {3N} {64 \ pi ^ 2 \ alpha \ beta} \ right）^ {1/4} $$

これで、圧力の計算が簡単になりました。$$ p =- \ left（\ frac {\ partial \ mathcal {F}} {\ partial V} \ right）_A = \ frac {N \ frac {A} {V}} {\ beta A} = \ frac {N} {\ベータV} $$ここで驚くことはありません。これは理想気体の状態方程式にすぎません。サイズ（$ V \ leftarrow \ frac {4} {3} \ pi R ^ 3 $）を差し込むと、$ p \ propto \ beta ^ {-1/4} \ propto T ^ {1/4} $があります。 。

簡単なモンテカルロシミュレーションも作成しました（たとえば、ガスが理想的でないより一般的なケースをカバーするように簡単に拡張できます）。数値結果は上記で得たものと一致します。