落下する物体が特定の速度に到達するまでの時間を計算する必要がある、宿題の問題が発生しました。抗力を考慮するとき。私は、速度の関数として加速度を設定し、積分することによってそれを行いました（それは微分方程式でした）。
ただし、これは物理学の入門コースであり、微積分の知識は必要ありません。厳密に言えば、まだ微分方程式を実行していません。幸運にも、以前に微積分を受講したことがあるので、微分方程式を認識して解くことができます。
クラスメートにどうやってやったのか聞いたところ、うまくいくまで数字をいじっていたとのことでした（間違った答えで減点されることなくオンラインでした） ）ほとんどの場合、終末速度を重力による加速度で割っただけですが、終末速度に到達するまでの時間も求められなかったため、意味がありませんが、その63％でした。その方法はたまたま正しいものと同じ数に丸められました。
私の質問は、初等物理学を使用してこの値を見つける方法はありますか、それとも私の教授は私たちに不公平な問題を与えましたか？ TAは何の助けにもならず、私は彼女の営業時間中に授業を受けました。
質問自体は次のとおりです。
4×10 $ ^ {-5} $ kgの雨滴の終端速度は約9m / sです。抗力$ F_D = -bv $と仮定して、静止状態から開始して63に達するまでのそのような落下に必要な時間を決定します。終端速度の％。
コメント
- 答えには、一方向の指数/対数が含まれるためまたは、指数/対数を含むある種のソリューションを開発する必要があります。毒を選んでください… 'は計算の近似になると思います。
- 対数を含む解決策は公正なゲームだと思います。'それを知っていることはほぼ期待されています。問題は私ができることです'私の人生では、これを行う方法を考えてください。'微分方程式を使用しないでください。多分私は'は、微積分をとった後、'そのように問題を行うことに慣れているためです。誰かが別の方法を思い付くことができれば、それは大いにありがたいです。
- 'は、63％が$ 1であることに関連している可能性があります-e ^ {-1} $
回答
抗力が速度の線形関数としてモデル化されている場合$（\ vec { F} _D = -b \ vec {v}）$の場合、問題は簡単です。落下する液滴の垂直方向の力のバランスは$$ \ Sigma F_y = mg-bv = m \ dot {v}、$$であり、速度の次の微分方程式が得られます。$$ \ boxed {\ dot {v} + \ frac {b} {m} v = g}。$$最大速度/ゼロ加速度$（\ dot {v} = 0）$の制限の場合、力のバランスは$$ mg = bv_ {max}に単純化されます。 、$$または$$ \ boxed {v_ {max} = \ frac {mg} {b}}。$$微分方程式に戻ると、初速度$ v（0）= 0 $の場合、次の解が得られます。このODEは$$ v（t）= \ frac {mg} {b} \ left [1-e ^ {-bt / m} \ right]。$$です。時定数を$ \ tau = \ frac {として定義します。 m} {b} $であり、終端速度の定義を使用すると、速度の時間変化は$$ \ boxed {v（t）= v_ {max} \ left [1-e ^ {-t / \ tauに簡略化されます。 } \ right]}。$$必要に応じて、別の統合を実行することで、位置を簡単に見つけることができます。$$ y（t）= \ int {v} dt = v_ {max} \ int {\ left（1-e ^ {-t / \ tau} \ right）} dt。$$初期位置$ y（0）= 0 $と仮定して単純化すると、垂直位置の解は$$ \ boxed {y（t）= v_ {max} t + v_ {max} \ tau \ left [e ^ {-t / \ tau} -1 \ right]}。$$これで、落下する物体の加速度、速度、位置を時間とシステムパラメータの関数として分析するソリューションが得られました。これらはすべて既知です（ $ b $を除く）。ただし、$ 0.63v_ {max} $の速度に到達するために要求される時間は任意ではないことに注意してください。時定数が1回経過すると、$$ \ frac {v（\ tau）} {v_ {max}} = 1-e ^ {-1} = 0.63212 = \ boxed {63.212 \％}。$$になります。したがって、時定数の値を計算するだけで、結果の値が答えになります。あなたのクラスメートに関しては、彼らは間違っていません。私たちの目標は$ \ tau $を計算することです。以前の計算を注意深く見ると、$ \ tau $は実際に終端速度を$ g $で割った値に等しいことがわかります。位置、速度、および加速度関数のオクターブプロットは、参照用に以下に含まれています（2番目のプロットで$ k $を$ b $に置き換えます）。
コメント
- ええ、教えられたことはありませんリンクした方程式。しかし、おかげで、これは私が探していたものとほぼ同じです。この質問を解決するために、私たちが理解できるはずのより一般的な方法があるかどうかを知りたかったのですが、答えはノーのようです。
- @JakeChristensenまだ別の方法があるかもしれません答えを見つける方法ですが、微積分（少なくともニュートン'の微積分）は物理学の問題を解決するために発明されたことを忘れないでください;-)
回答
通常、ドラッグは速度の2乗に比例するため、下向きの加速度は
$$ a = \ dot {v} = g- \ beta v ^ 2 $$
このような動きの解決策は
ターゲットにしたい速度
PS。ドラッグパラメータ
回答
1）終端速度での抗力を求めます。2）この力に.63（63％）を掛けます。3）この新しい力を雨滴の質量で割ります。4）速度加速時間を使用します。時間について解く運動方程式
コメント
- これは正しくありません'あなたは加速が一定であると仮定します（これは速度と空気抵抗の変化に関係する問題ではありません） 。I'ここで、$ a（t）$は$ a * t $を意味すると仮定します。これは、$ a $を$ t $の関数として意味する場合、すべて。