これは精度が低く、しかも単純な回答です

惑星の放射状アライメント構成のみを計算できます。

概算が必要な場合は、たとえば、惑星の位置を概算します。時計の針として、次のような方法で計算を行うことができます。

$ \ theta_i $が時間$ t_0 $での惑星$ i $の初期角度であると仮定します-任意ですが固定されたものから測定されます$ l_i $は、惑星$ i $の1年の長さ（日数）です。

次に、次の連立方程式の解法に戻ります。

$$ x \ equiv \ theta_i \ left（\ mod \ l_i \ right）$$

ここから、中国剰余定理を適用します。

最小のxを見つけると、$ t_0 $で角度$ \ theta_i = 0 $の惑星が、アライメント構成に達するまで移動したであろう角度がわかります。 A言及された惑星として地球を選択し、その角度を完全な回転（$ 360 ^ {o} $）で割ると、$ t_0 $構成からその構成に到達するまでの年数がわかります。

2014年1月1日のすべての惑星の角度での異なる$ \ theta_i $-これを$ t_0 $として使用できます：

\ begin {align} Mercury & \ quad 285.55 \\ Venus & \ quad 94.13 \\ Earth & \ quad 100.46 \\ Mars & \ quad 155.60 \\ Jupiter & \ quad 104.92 \\ Saturn & \ quad 226.71 \ \ Uranus & \ quad 11.93 \\ Neptune & \ quad 334.90 \ end {align}

出典

すべての惑星の日数で異なる$ l_i $：

\ begin {align} Mercury & \ quad 88 \\ Venus & \ quad 224.7 \\ Earth & \ quad 365.26 \\ Mars & \ quad 687 \\ Jupiter & \ quad 4332.6 \\ Saturn & \ quad 10759.2 \\ Uranus & \ quad 30685.4 \\ Neptune & \ quad 60189 \ end {align}

最後に整数値の近似の下で、これを使用連立方程式のオンラインソルバー答えは$ x = 4.0384877779832565 \ times 10 ^ {26} $を$ 360 ^ {o} $で割ると、およそ$$ 1.1218 \ times 10 ^ {24} \ quad \ text {になります。年} $$

編集1

このサイトが見つかりましたいろいろ試してみてください。これは、惑星の正確な位置を備えたインタラクティブなフラッシュアプリケーションです。

また、すべての情報がこのNASAページから取得できることも知っていますそしてそれはあなたが得ることができるのと同じくらい正確です、しかしそれは今私には理解できないだけです。私は時間を見つけたらそれを後で修正しようとします。

またこの本はJeanMeeusによるAstronomicalAlgorithmsと呼ばれ、すべての基本的な方程式と公式をカバーしています。ただし、プログラミングアルゴリズムとは関係ありません。

編集2

参照あなたがプログラマーであるということは、私が前述したNASAサイトをチェックする価値があるかもしれません。すべての惑星のデータは、$ \ tt {telnet} $を介してアクセスすることもできます。または、このSourceforgeサイトには、上記の本で説明されている方程式の多くの実装があります。

コメント

• $ x \ equiv \ theta_i（\ mod l_i）$はコメントでも同じように機能します。あなたのアプローチは、過度のシミュレーションなしでできる最善の方法だと思います。あなたがする必要があるのは、実際のデータを挿入することです。
• @Geraldああ、方程式のマークアップはコメントでは機能しないと思いました’。はい、’データ、特に$ \ theta_i $がありません。さまざまな$ l_i $情報を追加します。
• 太陽からの距離が正しくない場合、その太陽系スコープはどのようにして惑星の正確な相対位置を表示できますか？太陽に対する各惑星の位置を個別に正しく表示する可能性があるため、この質問には適していますが、接続詞を見つけるには適していません。
• @LocalFluffそれは本当です。これは、ラジアルアライメント構成への回答のみを提供します。編集済み。
• この回答にはいくつかの失敗があります。まず、テーブル内のすべての数字を使用すると（これは、センチグリーとセンチデーに変換することを意味します）、実際には$ x \ approx1.698 \ times10 ^ {42} $（同じオンラインツールから）を取得します。これは$ 1.29 \ times10 ^ {33に相当します。 } $ yr。 ‘どのようにして低い値を取得したのかわかりませんが、一部の数字を省略したのではないかと強く思います。次に、これは、桁を追加すると、解が無限大になる傾向があることを示しています。正解は次のとおりです。放射状の位置合わせは発生しません。最後に、惑星’の軌道がこの単純な動きに従っていると仮定すると、間違っています。

正解は「決して」です。理由。 最初の、Florinのコメントで指摘されているように、惑星の軌道は同一平面上にないため、整列できない可能性があります、たとえ各惑星がその軌道面に任意に配置できたとしても。 2番目の、惑星の周期が通約不可能であるため、純粋な放射状の整列でさえ決して起こりません。比率は有理数ではありません。最後に、惑星の軌道は、主に相互の重力により、数百万年のタイムスケールで進化します。引く。この進化は（弱く）混沌としているため、非常に長い間予測できません。

ハロガストンによる間違った答えは、基本的に公転周期を最も近い通約可能な数で、非常に長い時間がかかります（ただし、彼は10 ^ {16} $の係数で間違っていました）。

もっと興味深い質問（そしておそらくあなたが実際に興味を持っていた質問） ）は、8つの惑星が放射状にほぼ整列する頻度です。ここで、「ほぼ」は、単に「太陽から見て$ 10 ^ \ circ $以内」を意味する場合があります。このような場合、惑星の相互の引力が整列し、平均よりも強い軌道変化が生じます。

3つ以上の惑星の共通周期の推定値（つまり、どのくらいの時間が経過した後、それらは再びヘリオセントリック経度でほぼ整列しますか？）は、完全な整列からの逸脱が許容できるかどうかに非常に強く依存します。

惑星$ i $の期間が$ P_i $であり、時間内の許容偏差が$ b $（$ P_i $と同じ単位）である場合、の合計期間$ P $すべての$ n $惑星は約$$ P \ upperx \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ {n-1}} $$であるため、許容偏差を10分の1に減らすことは、共通期間を10倍に増やすことを意味します。 ^ {n-1} $、これは8つの惑星で10,000,000の係数です。したがって、許容できる偏差の量も指定しない場合、共通の期間を引用することは意味がありません。許容可能な偏差が0に減少すると（「完全な位置合わせ」を実現するため）、共通の期間は無限大に増加します。これはに対応します。いくつかのコメンテーターは、期間が釣り合っていないため、共通の期間はないと述べています。

ハロガストンによってリストされた惑星の期間については、$ \ prod_i P_i \ approx 1.35 \ times10 ^ 6 $ when $ P_i $それぞれ365。25日のジュリアン年で測定されるため、$ b $も年で測定される場合、年の一般的な期間は約$$ P \ upperx \ frac {1.35 \ times10 ^ 6} {b ^ 7} $$です。期間が最も近い日に近似される場合、$ b \ approx 0.00274 $年および$ P \ approx 1.2 \ times10 ^ {24} $年。期間が最も近い0。01日に近似される場合、$ b \ approx2.74 \ times10 ^ {-5} $および$ P \約1.2 \ times10 ^ {38} $年。

上記の式の導出は次のとおりです。

基本単位の倍数で惑星の周期を概算します$ b $：$ P_i \ approx p_i b $ここで、$ p_i $は整数です。その場合、共通期間は最大ですべての$ p_i $の積に等しくなります。その積は、引き続き$ b $の単位で測定されます。元の単位に戻すには、$ b $を掛ける必要があります。 、共通の期間は約$$ P \ approx b \ prod_i p_i \ approx b \ prod_i \ frac {P_i} {b} = b \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ n} = \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ {n-1}} $$

上記の導出では、$ p_i $に共通の要因がある可能性があることを考慮していないため、$ \ prod_i p_i $が示唆するよりも早く位置合わせが行われます。ただし、2つの$ p_i $に共通の要素があるかどうかは、選択した基本期間$ b $に強く依存するため、事実上確率変数であり、$ P $の$ b $へのグローバルな依存性には影響しません。

許容可能な偏差を時間ではなく角度で表すと、許容可能な偏差のサイズに応じた回答が得られると思います。上記の式については強く。

$ P $のグラフについては、 http://aa.quae.nl/en/reken/periode.html を参照してください。冥王星を含むすべての惑星の$ b $の関数として。

編集：

これは、角度に関して許容できる偏差のある推定値です。すべての惑星が、最初の惑星の経度を中心とする幅$δ$の経度の範囲内にある必要があります。最初の惑星は自由です。すべての惑星が太陽の周りの同一平面上の円形軌道で同じ方向に移動すると仮定します。

惑星が周期は釣り合っていません、惑星の経度のすべての組み合わせは同じ確率で起こります。ある特定の瞬間に惑星$ i > 1 $の経度が惑星1の経度を中心とする幅$δ$のセグメント内にある確率$ q_i $は等しいto $$ q_i = \ frac {δ} {360°} $$

惑星2から$ n $がすべて惑星1を中心とする同じ経度のセグメント内にある確率$ q $は$ $ q = \ prod_ {i = 2} ^ n q_i = \ left（\ frac {δ} {360°} \ right）^ {n-1} $$

その確率をに変換するには平均期間では、すべての惑星が整列するたびに、すべての惑星が整列する時間（$δ$以内）を見積もる必要があります。

相互の整列を失う最初の2つの惑星は、最も速く、最も遅くなります。惑星の。それらのシノディック周期が$ P _ * $の場合、それらは間隔$$ A = P_ * \ frac {δ} {360°} $$の間整列し、その後しばらく整列から外れてから再び整列します。したがって、すべての惑星の各整列は約$ A $の間隔で続き、それらの整列はすべて、すべての時間の一部$ q $をカバーします。すべての惑星の別の整列が発生するまでの平均期間が$ P $の場合、 $ qP = A $でなければならないので、$$ P = \ frac {A} {q} = P_ * \ left（\ frac {360°} {δ} \ right）^ {n-2} $$

惑星が2つしかない場合は、$δ$に関係なく$ P = P _ * $です。これは予想どおりです。

惑星が多い場合、最速の惑星はたくさんあります。最も遅い惑星よりも速いので、$ P _ * $は最も速い惑星の公転周期にほぼ等しくなります。

ここでも、連続する整列間の平均時間の推定値は非常に 選択した偏差制限に敏感であるため（3つ以上の惑星が関係している場合）、そのような結合された期間を引用することは無意味ですどのような逸脱が許容されたかについても言及しない場合。

（3つ以上の惑星がある場合）これらすべての（ほぼ）整列が定期的に発生しないことを覚えておくことも重要です。間隔。

それでは、いくつかの数字をプラグインしましょう。 8つの惑星すべてを経度1度以内に整列させたい場合、そのような2つの整列間の平均時間は、最速の惑星の$ P = 360 ^ 6 = 2.2×10 ^ {15} $軌道にほぼ等しくなります。太陽系の場合、水星は約0。241年の期間で最速の惑星であるため、経度1度以内までの8つの惑星すべての2つの整列間の平均時間は約$ 5×10 ^ {14} $年です。

経度10度以内の位置合わせにすでに満足している場合、そのような2つの位置合わせ間の平均周期は、水星の$ P = 36 ^ 6 = 2.2×10 ^ 9 $軌道にほぼ等しくなります。これは約5億年です。

今後1000年間に期待できる最良の調整は何ですか？ 1000年は水星の約4150軌道なので、$（360°/δ）^ 6 \約4150 $、つまり$δ\約90°$です。ランダムに選択された1000年の間隔で、平均して8つの惑星すべてが90°のセグメント内に1つの整列があります。

これを行うにははるかに簡単な方法があります。

1）太陽年の長さを地球の日数で調べます

2）次のように年の長さを乗算します：水星年*金星年*地球年*火星年*木星の年*土星の年*ウラヌスの年*ネプチューンの年

3）365で割ると、地球の年になります。

そして、それらが再び縦方向に整列する時間もあります（角度を意味します）。異なりますが、上面図からは線を形成します）。これらの惑星の中には、1年に地球の日数が10進数であるため、これ以上の頻度で整列することはありません。

コメント

• 4）取得した数値は、太陽系のリアプノフ時間よりもはるかに大きいため、意味がないことを認識してください。

技術的には、8つの惑星すべての整列間の期間を見つける本当の方法は、8つの年の長さすべてのLCMを見つけることです。

LCM（88、225、365、687、4333、10759、30685、60189）= 814252949520007202031000。これらは最も近い整数に丸められるため、これは概算であると理解していますが、良い考えです。

814252949520007202031000/365 = 2230829998684951238441。それは何年かです。

コメント

• これは、 Caters ‘ sansweで説明されている方法と同じようです。 r 。