私の質問は、タイプIIのエラー$ \ beta $を計算する方法ですか？
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テストしたいとします。 $ H_0：\ mu = 0 $ vs $ H_1：\ mu = 1 $（タイプIIエラー$ \ beta $を計算する必要があるため、$ H_1 $の$ \ mu $、たとえば1を修正する必要があります）。
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$ H_0 $の分布が$ F_0 $、$ H_1 $が$ F_1 $であるとします。ここで、$ \ xi \ simの場合は$ E [\ xi] = 0 $です。 F_0 $、$ E [\ xi] = 1 $（$ \ xi \ sim F_1 $の場合）。
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ここで、$ \ mu $の推定量、たとえば$ \ bar {X} _n $と、検定統計量$ S_n = \ frac {\ bar {X}を作成します。 _n-E [F_0]} {\ sigma} = \ frac {\ bar {X} _n-0} {\ sigma} = \ frac {\ bar {X} _n} {\ sigma} $（$と仮定しましょう\ sigma $は既知です。
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次にreject（$ H_0 $）ルールを作成します：$ S_n > b $。
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タイプIIのエラーは$ P_ {F_1}（S_n > b）$
として計算されます。
私の質問は（3つのことを確認したい）です：
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上記の構築ロジックは正しいですよね？
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“$ P_ {F_1}（S_n > b）$”の分布は$ F_1 $ですよね？
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[最も注意] “$ P_ {F_1}（S_n > b）$”の$ S_n $は、計算に$ F_0 $を使用する必要がありますか？
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つまり、計算するタイプIまたはタイプIIのエラーに関係なく、検定統計量を計算するには常に$ F_0 $を使用する必要がありますよね？
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つまり、タイプIまたはタイプIIのエラー計算では、$ S_n $は常に$ \ frac {\ bar {X} _n-E [F_0]} {\ sigma} $です。 $ \ beta $の計算では、$ \ frac {\ bar {X} _n-E [F_1]} {\ sigma} $ではありませんか？
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または、検定統計量はサンプルの関数であり、パラメーターを含めるべきではないため、これは問題にはなりませんか？
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コメント
- タイプIIのエラーは、null仮説が偽の場合、つまり$ H_1 $が真の場合にnull仮説を棄却しないことです。 $ P_ {F_1}（S_n > b）$と書いたので、$ F_1 $を使用してPを計算する必要があると思いますが、$ F_0 $は使用しないでください。 $ H_1 $パラメータに基づく検出力の計算を参照することもできます。タイプII $ \ beta $ = 1-検出力
- ありがとうございます！あなたが正しいです。私が間違えました。タイプIIエラーの場合は$ P_ {F_1}（S_n \ le b）$です。
回答
$ \ mathcal {F} ^ {（0）}（\ mu = \ mu_0、\ sigma = \ sigma_0）$が帰無仮説の下での分布であり、$ \ mathcal {F} ^ {（1）}（\ mu = \ mu_1、\ sigma = \ sigma_1）$は$ H_1 $の下にあるため、検定統計量$ X $があり、検定したい
$ H_0：X \ sim \ mathcal {F} ^ {（0）}（\ mu = 0、\ sigma = \ sigma_0）$対$ H_1：X \ sim \ mathcal {F} ^ {（1）}（\ mu = 1、\ sigma = \ sigma_1）$
説明の仕方で、片側検定を実行し、右側のテールに重要な領域を定義します。したがって、信頼水準$ \ alpha $を選択した後、分布$ \ mathcal {F} ^ {（0）}（\ mu = 0、\ sigma = \ sigma_0）$を使用して分位値$ q_を見つけます。 {\ alpha} ^ {（0）} $、$ P ^ {（0）}（X \ ge q _ {\ alpha} ^ {（0）}）= \ alpha $（連続分布を想定しています）。スーパーインデックス$（0）$は、確率が$ \ mathcal {F} ^ {（0）} $、で測定されることを示しているため、ヌル分布$ \ mathcal {が必要です。 F} ^ {（0）} $は、重要な領域、つまり分位数$ q _ {\ alpha} ^ {（0）} $ を定義します。
サンプルから確率変数$ X $の結果$ x $を観察でき、$ x \ ge q _ {\ alpha} ^ {（0）} $の場合はnullが拒否されます。言い換えると、テストでは、$ H_1 \ textrm {がtrueと決定された} \ iff x \ in [q _ {\ alpha} ^ {（0）}; + \ infty [$。
テストの能力は、$ H_1 $が真であるときはいつでも $ H_1 $が真であると決定される確率です なので、$ H_1 $が真の場合は常に、$ X \ ge q _ {\ alpha} ^ {（0）} $の確率が累乗され、これは真の分布が$ \ mathcal {F} ^ {（1）} $ または$ \ mathcal {P} $の累乗は
$ \ mathcal {P} = P ^ {（1）}（X \ ge q _ {\ alpha} ^ {（0） }）$
スーパーインデックス$（1）$は、確率が$ \ mathcal {F} ^ {（1）} $ で計算されることを示します。したがって、パワーは$ \ mathcal {F} ^ {（1）} $で測定されますが、$ \ mathcal {F} ^ {で計算される$ q _ {\ alpha} ^ {（0）} $の値が必要です。 （0）} $。
電力$ \ mathcal {P} $を使用しましたが、タイプIIエラー$ \ beta $は$ \ beta =です。 1- \ mathcal {P} $。
あなたの場合
「$ P_ {F_1}（S_n > b」の分布」と言うと、あなたは正しいです。 ）$ “は$ F_1 $” “
ただし、$ b $を見つけるには、$ F_0 $を使用する必要があります。実際、$ b $は$ q _ {\ alpha} ^ {（0）} $
のアナログです。