三角法を学ぶための最良の方法

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論理三角法の基礎と代数三角法式の構造。まっすぐに完了したいかどうかに応じて、これに対する2つの「レベル」 ex番号、または実際の三角法の範囲内にとどまります。いずれの場合も、三角法の固有のコアを特定し、それ以外のすべてをそれに減らすことに重点が置かれます。

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実際の三角測量

主要な量は $ \ cos（t）$ と $ \ sin（t）$ は、 $ x $ と $です。 y $ 長さの弧を描く単位円上の点 $ P_t $ の座標 $ t $ wikipedia の画像に示されているように、 $ x $ 軸から反時計回りにa>：

ここでは、円弧の長さは単位円に沿って測定され、 $π$ はで定義されています。 は半円の円弧の長さであるため、 $2π$ は $ 360になります。 °$ 。 （この角度の測定方法は、”ラジアン”での測定と呼ばれることがよくありますが、個人的には不要な用語だと思います。）注その $ P_t = P_ {t +2πk} $ 任意の整数 $ k $ の場合、 $2πk$ は、フルラウンドの整数倍になります。また、 $ t $ を増やすと、 $ P_t $ が反時計回りに移動し、 $ t $ は $ P_t $ を時計回りに移動します。これに関連して、 $ P _ {-t} $ は、 $ P_t $ を $ x $ -axis。

$ \ cos（t）$ spanの記号に注意してください。 >と $ \ sin（t）$ は、 $ x $ と $ y $ 座標。 （何かを暗記して、どの象限でどれがポジティブかを判断するように言われる人の言うことを聞かないでください。）

そして、定義上、 $ \ cos（ t）^ 2 + \ sin（t）^ 2 = 1 $ すべての実際の $ t $ 。これは、最初の重要な代数的事実です。

次に、 $ \ tan（t）$ は定義として $ \ sin（t）/ \ cos（t）$ 。 （これまで、 $ \ sec（t）：= 1 / \ cos（t）$ と $$も定義しました。 csc（t）：= 1 / \ sin（t）$ および $ \ cot（t）：= 1 / \ tan（t）$ 、しかし率直に言って、 $ \ cos、\ sin $ だけで十分な場合、これほど多くのメリットはありません。） $ \ cos、\ sin、\ tan、\ sec、\ csc、\ cot $ の場合、おそらくの標準的な数学的手法を実行する必要があります。正規の形式で書き直す。これは、この場合、 $ \ cos、\ sin $ のみで書き直すことを意味します。元の式が定義されていない場所に注意してください（たとえば、実際のpan class = “の場合は $ 1 / \ csc（t）= \ sin（t）$ math-container “> $ t $ は、 $ t $ が $π$ ）。

その他の重要な代数的事実は、ベクトルに適用される回転行列を考慮することから生じます。 （ベクトルの演算子としての行列に慣れていない場合は、最初にこれをお読みください。ユークリッド空間でのベクトルの概要については、ここ。） $ R $ を、平面の原点を中心とした回転とします。次に、 $ R $ は次の3つのプロパティを満たします。

1. $ R（u + v）=任意のベクトル $ u、v $ のR（u）+ R（v）$ （つまり、2つのベクトルを合計してから結果を回転させると、回転するのと同じになります。
2. $ R、S $ が角度の反時計回りの回転である場合 $ t、u $ の場合、 $R∘S$ は角度の反時計回りの回転です $ t + u $ 。
3. $ R $ が角度の反時計回りの回転である場合 $ t $ 、次に：
   a。 $ R（⟨x、0⟩）=⟨x・\ cos（t）、x・\ sin（t）⟩$ 実際の $ x $ 。
   b。 $ R（⟨0、y⟩）=⟨-y・\ sin（t）、y・\ cos（t）⟩$ 実際の $ y $ 。

これらのプロパティは、回転に関する公理（仮定）と見なすことができます。結局のところ、 $ R $ がそれらを満たさない場合、 $ R $ をローテーションとは呼びません。で始まります。理由を理解するために、プロパティ（1）は、接続された2つのロッドを回転させると、接続された場所を維持しながら、両方のロッドが回転角だけ回転するという直感を捉えています。プロパティ（2）は、プロパティ（3）と組み合わせてのみ必要です。プロパティ（3a）は $ \ cos、\ sin $ の定義に従い、プロパティ（3b）は同じ定義をローテーションして $ 90°$ 反時計回り。

プロパティ（1）と（3）は、2D回転の行列形式を生成します。

$ R $ が角度の反時計回りの回転である場合 $ t $ 、次に $ R = \ small \ pmatrix {\ cos（t）&-\ sin（t）\\ \ sin（t）& \ cos（t）} $ 。

次に、プロパティ（2）を使用します。 get：

$ \ small \ pmatrix {\ cos（t + u）&-\ sin（t + u）\\ \ sin（t + u）& \ cos（t + u）} = \ pmatrix {\ cos（ t）&-\ sin（t）\\ \ sin（t）& \ cos（t）} \ pmatrix {\ cos （u）&-\ sin（u）\\ \ sin（u）& \ cos（u）} $ 任意の実数 $ t、u $ 。

右側の行列積を乗算し、左側の行列と比較すると、すぐに角度が得られます-合計ID：

$ \ cos（t + u）= \ cos（t）・\ cos（ u）-任意の実数の\ sin（t）・\ sin（u）$ $ t、u $ 。

$ \ sin（t + u）= \ cos（t）・\ sin（u）+ \ sin（t）・\ cos（u）$ 任意の実数 $ t、u $ 。

次の合計の三角関数を含む式を単純化する場合はいつでも角度については、これらのIDを使用して式をpanclass = “math-container”の観点から削減することを検討する必要があります。 > $ \ cos、\ sin $ 可能な限り少ない角度。

実際、すべての三角関数i算術演算と三角関数のみを含むアイデンティティは、上記の定義と重要な代数的事実だけを使用して証明できます。少し不思議なことに、対称性のプロパティでさえ、次のように代数的に証明できます。

実際の $ t $ が与えられた場合：

$ 1 = \ cos（t +（-t））= \ cos（t）・\ cos（-t）-\ sin（t）・\ sin（-t）$ スパン>。 [角度の合計]

$ 0 = \ sin（t +（-t））= \ cos（t）・\ sin（-t）+ \ sin（ t）・\ cos（-t）$ 。 [angle-sum]

$ \ cos（t）= \ cos（t）^ 2・\ cos（-t）-（\ cos（t）・\ sin（-t））・\ sin（t）$

$ = \ cos（t）^ 2・\ cos（- t）+（\ sin（t）・\ cos（-t））・\ sin（t）$

$ =（\ cos （t）^ 2 + \ sin（t）^ 2）・\ cos（-t）$

$ = \ cos（-t ）$ 。

$ \ sin（t）=（\ sin（t）・\ cos（-t））・\ cos（t ）-\ sin（t）^ 2・\ sin（-t）$

$ =-（\ cos（t）・\ sin （-t））・\ cos（t）-\ sin（t）^ 2・\ sin（-t）$

$ = -\ sin（-t）・（\ cos（t）^ 2 + \ sin（t）^ 2）$

$ =- \ sin（-t）$ 。

実際の分析に進むと、次の事実が必要になります。これらの事実は、今のところ公理と見なすことができます（後で個別に正当化できます）。

1. $ \ sin “= \ cos $ 。
2. $ \ cos “=-\ sin $ 。

前と同じように、すべてがnをこれらに減らすので、これ以上何も覚える必要はありません（そうするのが便利かもしれませんが）。

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複雑な三角法

個人的には、 分析。簡単に定義すると、 $ \ def \ rr {\ mathbb {R}} \ def \ cc {\ mathbb {C}} \ def \ lfrac＃1＃2 {{\ large \ frac {＃1} {＃2}}} $

$ \ exp（z ）：= \ sum_ {k = 0} ^∞\ lfrac {z ^ k} {k！} $ すべての複合体 $ z $ （後合計が収束することを証明します）。

$ \ cos（z）：= \ lfrac {\ exp（iz）+ \ exp（-iz）} {2} $ 。

$ \ sin（z）：= \ lfrac {\ exp（iz）-\ exp（-iz）} {2i} $ 。

$π$ は、 $ \ cos $ の最初の正のルートの2倍です（存在することを証明した後）。

動機は、 $ \ exp：\ cc→\が必要なことです。 $ \ exp “= \ exp $ および $ \ exp（0）= 1 $となるcc $ 、一般的な線形微分方程式を解くことができるようにするために、 $ \ cos、\ sin：\ rr→\ rr $ が $ \ cos “” =-\ cos $ および $ \ sin “” =-\ sin $ および $⟨\ cos（0）、\ cos “（0）⟩=⟨1,0⟩$ および $⟨\ sin（0 ）、\ sin “（0）⟩=⟨0,1⟩$ 、単純な調和運動を解くことができるように、テイラー展開により、 $ \ exp、\ cos、\ sin $ の上記の定義が得られ、複素平面全体に収束することが証明できます。上記の $π$ の定義は、ジオメトリに依存しない、私が知っている最も簡単な定義です。 （この動機の詳細については、この投稿を参照してください。）

これらの定義を使用すると、基本的な分析で証明できると言えば十分です。 $ \ exp、\ cos、\ sin $ は、目的の動機付けプロパティと、別のキープロパティivを満たします。 $ \ exp $ のid = “745d5f6ddf”> ：

$ \ exp（z + w）= \ exp（z）・\ exp（w）$ 任意の複雑な $ z、 w $ 。

このプロパティを使用すると、代数的操作のみですべての三角法のアイデンティティを証明できます（複雑な変数には当てはまりますが、そうではありません）。

たとえば、任意の複雑な $ z $ が与えられた場合：

$ \ cos（z）^ 2 + \ sin（z）^ 2 = \ lfrac {（\ exp（iz）+ \ exp（-iz））^ 2} {4}-\ lfrac {（\ exp （iz）-\ exp（-iz））^ 2} {4} $

$ = \ exp（iz）・\ exp（-iz）= \ exp（0）= 1 $ 。

それでも、多くの場合、最初に実行する方が簡単です。 $ \ cos、\ sin $ について同じ重要な代数的事実を証明し、それらを使用して、すべてを $ \ exp $ 。

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