フェルミ面とは何ですか？この質問がこのフォーラムにとって初歩的すぎないことを願っています。初歩的なものである場合は、事前に謝罪します。

混乱について説明させてください。しっかりしているので、フェルミ準位にある程度の感覚があると思います。たとえば、システム内の電子のエネルギー準位のフェルミディラック分布の特性パラメータ $ \ mu $ として理解できます： $$ f（\ epsilon）= \ frac {1} {e ^ {（\ epsilon- \ mu）/ kT} +1} $$ 他の物理的解釈を今のところ無視します。したがって、占有される確率が1/2であるのは固有のエネルギーレベルです。

一方、フェルミ面の定義は通常、「エネルギーを持つ状態の等表面」として与えられます。波動ベクトルの3次元空間の「フェルミレベルに等しい」 $ k $ 、たとえばこのWikipediaの記事：

https://en.wikipedia.org/wiki/Electronic_band_structure

つまり、 $ k $ で、 $$ E（k）= \ mu。$$ これまでのところとても良いです。問題は、 $ E（k）$ が何であるかがよくわからないことです。

1つの状況、つまりフェルミは単純なようです。同一粒子のガス。 $$ E（k）= \ frac {k ^ 2} {2m} $$ で、フェルミ面は球です。ただし、ブロッホ理論の通常の理想化されたモデルである無限の周期的ポテンシャルにある場合、シュレーディンガー方程式の解は $$ \ psi_ {kn}（r）= eの形式で出てきます。 ^ {ik \ cdot r} u_ {kn}（r）、$$ ここで、 $ u_ {kn} $ は周期関数であり、 $ n $ は、エネルギーレベルの離散インデックスです。つまり、各波動ベクトル $ k $ 、

多くのエネルギーレベルがあります $ E_n（k）$ 。

したがって、フェルミ面は実際には $$ E_n（k）= \ mu。$$ のようになります。したがって、私の質問です。フェルミ面の定義で発生する $ E（k）$ はどのエネルギーレベルですか？おそらく、レベルごとに1つのフェルミ面があります $ n $ ？ （レベルが運動量空間全体で連続的に変化すると仮定すると、さまざまな $ k $ のレベルに一貫してインデックスを付けることができます。）

可能であれば混乱についてもう少し詳しく説明しますが、この質問に対するこの回答の定義がよくわかりません：

フェルミ面とは何ですか？この概念が金属研究で非常に役立つのはなぜですか？

「フェルミ面は、相互作用がゼロの限界で、すべてのフェルミ面が（結晶）運動量 $ | k |を持つ運動量空間の表面です。 < | k_F | $ が占有され、より高い運動量状態はすべて空です。 “

1つは、前述のように、あらゆる勢いで $ k $ 、はフェルミ粒子状態の無限のシーケンスです。もう1つの問題は、フェルミ粒子状態を何らかの方法で選択できたとしても、上記のステートメントが一意の表面を定義しているかどうかわからないことです $ステートメントが参照する $ k $ ごとに\ psi（k）$ 。 （この点を説明するために絵を描く必要がありますが、それを行う能力はありません。）

コメント

  • フェルミ面表面は絶対零度の温度で定義されるため、基底状態の解$ E_0（k）= \ mu $ …
  • を取ります。固体では、（ Wigner-Seitz）ユニットセル。
  • レモン：それもかなり紛らわしいと思います。したがって、あなたのステートメントは'フェルミ面は$ k $のセットです。 $ E_0（k）= \ mu $、'のようになります。ここで、$ E_0（k）$は、運動量$ k $の最低エネルギーです。しかし、固体では、低エネルギーバンドが満たされると、フェルミ面より上に多くの電子が存在することになります。これは通常の画像と一致しないようです。
  • ジョンカスター：あなたは'は、各$ u_ {kn} $がセル内の値によって決定されるという事実を指します。'は真実です。しかし、正しい状態はありません。 concセルに登録されています。 （$ u_ {kn} $は定期的です。）いずれにせよ、'これが質問にどのように答えるかわかりません。言い方を変えると、$ k $ごとに'のように聞こえ、セルに固有の$ \ psi_ {kn} $が集中しており、そのエネルギーがフェルミ面を定義するために使用します。'これはさまざまな理由で'正しく聞こえません。

回答

あなたの言うことはすべて正しいです。フェルミ面は、任意のバンド$ n $に対して$ E_n（k）= \ mu $となる点のセット$ k $として定義されます。ただし、通常、バンドは比較的離れて配置されており、次のようにエネルギーが重なることはありません。

画像を入力ここでの説明

ご覧のとおり、バンド1と3は化学ポテンシャル$ \ mu $の完全に上または完全に下にあるため、フェルミ面の決定には関係ありません（実際、低温では、これらのバンドは 物理現象とはほとんど関係がありません。化学ポテンシャルに近いバンドのみが物理的に重要です。そのため、実際には、検討するだけで問題を解決できます。 1つまたは2つのバンドで、他のすべてを完全に無視します。フェルミ面がある場合（つまり、化学ポテンシャルがバンドと交差する場合）、ほとんどの場合、1つのバンドで十分です。

より複雑/異常な場合ただし、システムでは、複数のバンドを追跡する必要があります。たとえば、バンドが接触したり交差したりすることがあり、化学ポテンシャルを正確にcrに調整すると、面白いことが起こる可能性があります。オシニングポイント。さらに珍しいことに、2つのバンドが有限範囲のエネルギーを共有する可能性があります。 2つのコサインカーブがわずかに垂直方向にシフトしました。しかし、これらのケースは非常にまれです-ほとんどの日常の材料では、$ \ mu $は多くても1つのバンドに属し、これについて心配する必要はありません（実際、プロの物理学者は、化学ポテンシャルが存在する珍しい材料を見つけて作成することを好みます バンドの交差点に正しく座っています。そのようなシステムは理論的に十分に理解されていないため、学ぶべきことがたくさんあります。）

BTW、1-Dでは、上記のプロットのように、フェルミ「表面」は$ k $の孤立した値で構成されますが、2-Dでは、通常、$ k_x $-$ k_y $平面の閉じた曲線です。 、および3Dでは、通常、球のような閉じたサーフェスです。フェルミ面は、実際には2つ（またはそれ以上）の球で構成され、一方が他方の内側にあり、塗りつぶされている場合があります。関連するバンドの「フェルミ海」はそれらの間にあります。 この現象は「フェルミ面の入れ子」と呼ばれます。しかし、「フェルミ面について学習しているだけであれば、これらについて心配する必要はありません」長い間複雑な状況。

コメント

  • 明確な回答をありがとう。ちなみに、'という単語が使用されているので、' band 'を使用しました。固体物理学では2つの異なる方法で。ここで使用する言葉は、単にエネルギーレベルを指します。しかし、エネルギーレベルの本質的に連続的な分布としてのバンドの概念もあり、その間に'ギャップがあります。'これは私の混乱の大部分でした。 'これについて間違っている場合は訂正してください。
  • @MinhyongKim A " band "は、指定された$ n $の値に対する単一の曲線$ E_n（k）$として定義されます。 （'それを"エネルギーレベル"と呼ぶのは、やや誤解を招くと思います。関数は一般に一定ではないため、エネルギーの有限間隔全体にわたって値を取ります。）人々は時々用語を乱用し、" band "は、関数が及ぶエネルギーの間隔を指します。つまり、運動量依存性を崩壊させます。 'これは、人々が"バンドギャップについて話すときに考えていることです。"しかし、"バンド"の2つの意味はほとんど同じです…
  • .. 。唯一の違いは、$ k $への依存関係を追跡するか、関数'の範囲を考慮するかです。
  • 詳細な説明をありがとうございます。しかし、私には、2つの感覚を区別することがいくらか重要であるように思われます。 ' band 'という単語が電子バンド構造の意味で使用されていた場合、方程式$ E_n（k）= \ mu $ n $の固定値であっても、$は'明確に定義されません。これは、私のような初心者にとって非常に紛らわしいことの1つでした。いずれにせよ、もう一度感謝します！

答え

フェルミ面は逆格子空間の面です（あなたが住んでいる実空間の双対）ゼロ温度でフェルミ粒子の占有状態をフェルミ粒子の非占有状態から区切る。つまり、それはエネルギー構造ではなく、勢い（$ k $）の構造です。

論理は次のとおりです。指定された数のフェルミ粒子をすべてまとめてみてください。それらはパウリの排他原理に従っているので、これらのフェルミ粒子をあなたが望むように詰めることはできません。運動量空間に状態の余地があるたびに、この空の部屋を占めることができるのは1つのフェルミ粒子だけです。だからあなたはフェルミ粒子を積み上げ始めなければなりません。これは、本棚を本でいっぱいにすることと完全に類似しています。前の行がいっぱいになったときに、次の行を使用する必要があります。生の間隔を短くしたり、各生のサイズを大きくしたりできます。本が多すぎる場合は、次の生を使用できます。これは、分散関係の次の運動量ブランチを使用することに他なりません（いわゆる$ k_n（E）$）。最後のフェルミ粒子をフェルミオンブックケースに入れると、対応する運動量状態はフェルミ運動量と呼ばれ、対応するエネルギーはフェルミエネルギーと呼ばれます…そしてiso- $ k $の表面フェルミ運動量はフェルミ面と呼ばれます。

現在のコメントはほとんどありません

  • 有限を埋めるために使用される無限の数のブランチはありません。 em>分散関係にあるフェルミ粒子の数（必要に応じて材料のバンド構造）。

  • フェルミ面に複数のシートがあると仮定しても矛盾はありません。 Wikipedia でも、電子ポケットと正孔ポケットを備えたフェルミ面の例がすでにあります

  • フェルミ面の概念処理する粒子の数が有限である場合（古代の用語では、これは2番目の量子化された問題です）、（フェルミ-ディラック）統計の概念に由来しますが、バンド構造は1つの利用可能な状態の完全なスペクトルです。周期的ポテンシャルの粒子（古代の用語では、これは最初の量子化された問題です）。一方から他方に移る簡単な方法は、化学ポテンシャルを使用することです。これにより、エネルギー状態ごとの粒子数（より正確には、熱力学系に粒子を追加するために必要なエネルギー量）が固定されます。

  • フェルミ面は、純金属やドープされた半導体などの単純なバンド構造を持つ材料のいくつかの輸送特性（電気、熱、…輸送）を理解するために特に有用な概念です。フェルミ面が複雑になりすぎると、フェルミ面から直感を得ることが難しくなります。これがあなたの質問の概念の誤解の中心にあると思います。

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