ファインマン-カッツの定理は、$$ dX_t = \ mu（t、X_t）dt + \ sigma（t 、X_t）dW_t $$には、$$ g_t（t、x）+ g_x（t、x）\ mu（t、x）+ \ frac {1} {2} g_ {xxのような可測関数$ g $があります。 }（t、x）\ sigma（t、x）^ 2 = 0 $$、適切な境界条件$ h $：$ g（T、x）= h（x）$。 $ g（t、x）$の形式が$$ g（t、x）= \ mathbb {E} \ left [h（X_T）\ big |であることもわかっています。 X_t = x \ right]。$$
これは、確率過程に関係なく微分方程式を解くことにより、ペイオフ関数$ h（x）$を使用して$ T $でオプションの価格を設定できることを意味します。
微分方程式に確率成分がない場合でも、伊藤プロセスの確率的振る舞いを微分方程式でモデル化する方法は直感的に説明できますか？
コメント
- 期待の範囲内で、$ h（X_t）$の代わりに$ h（X_T）$を配置するべきではありません' ？
回答
マルチンゲール+マルコビアン
ここに動機があります。条件付き期待値は、条件付き期待値のタワープロパティによるマルチンゲールです（簡単に示すことができます）。リスク中立価格定理により、$ r = 0 $とすると、$ E ^ \ star \ left [h（X_T）\ bigg | \ mathscr {F} _t、\、X_t = x \ right] $は任意のデリバティブの価格です。原資産およびデリバティブ自体が中間キャッシュフローを支払わないと仮定した場合、原資産およびペイオフ関数$ h $として$ X $を使用する証券。マルコフ設定では、デリバティブの価格が現在の資産価格と満期までの時間のみの測定可能な関数である場合、たとえば関数$ g（t、x）$である必要があります。次に、伊藤の補題$ d（g（t、x））= \ ldots $によって。$ g $は（シフトされた）マルチンゲールであるため、ドリフト項はゼロに等しくなければなりません。境界条件は裁定取引がないことから生じます。最初に与えられた定義から$ g（T、x）$が何であるかを確認してください（条件付き期待値を取るときは測定可能性を覚えておいてください）。
コメント
- ありがとうございます。$ \ mathscr {F} _t $とは何ですか？
- これはろ過からのシグマ代数です。 en.wikipedia.org/wiki/Filtration_(mathematics）
- @ user25064-私の答えをかなりよく補完します+1
- @ Raphael- $ \ mathscrについて考えてみてください時間$ t $までに利用可能な情報としてのF_t $。垂直バーは"与えられた"と表示されるため、その期待値を書き込むと、それ以前は、'期待値をまったく受けておらず、定数と同じように外に出る可能性があります。$ E [X_ {t- \ epsilon} | \ mathscr F_t ] = X_ {t- \ eps ilon} $。 この本には条件付き期待値の比較的良い説明があります。
回答
ファインマン-カッツ定理は、主に価格設定のコンテキストで意味があります。ある関数がファインマン-カッツ方程式を解くことがわかっている場合は、その関数の解をプロセスに関する期待値として表すことができます。（このドキュメントを参照）
一方、価格設定関数はFK-PDEを解きます。したがって、多くの場合、PDEを解いて、閉じた形式の価格設定式を取得しようとします。（これを確認します22ページから始まるドキュメント）
ファインマン-カッツを使用して確率的プロセスをシミュレートすることはありません。一方、確率過程を使用して、FK-PDEの解を見つけることができます（ここを参照）
2014年2月26日編集：遷移密度とFK-PDの関係を説明しようとするドキュメントを見つけました（ 5ページから始まるここを参照）
また、分解に使用できるFK式とSturm-Liouville方程式の間には関係があります。ブラウン運動の。 （このペーパーを参照）
コメント
- リンクをありがとう！あなたの投稿では、ファインマン-カッツ定理のいくつかのアプリケーションと使用法について説明しています。この時点での私の主な関心は、定理が真である理由、つまり定理の背後にある直感を理解することです。
- ここで証明を提案します： en。 wikipedia.org/wiki/Feynman%E2%80%93Kac_formula 証明を読むことは、定理がどのように存在するかを理解するのに役立つことがよくあります。または、物理学の観点からの説明に興味がありますか？
回答
私の考え方それは、偏微分方程式が時間依存の確率分布の流れを記述するということです。確率過程は、個々の実現（ドリフトを伴うランダムウォーク）を記述しますが、それらを多数実行すると、分布が構築されます。
PDEは、決定論的ドリフト（第2項）と拡散（第3項、「多くのランダムウォーク」と拡散の間のリンク）により、分布が時間（第1項）でどのように変化するかを示します。平均してどれだけ遠くまで到達したかを表す確率分布。通常、確率分布は、既知の初期条件のためにデルタ関数として始まります。
コメント
- 少し混乱しています。ドリフトとボラティリティを除いて、価格設定関数$ g（t、x）$のPDEを取得しました。分布に関して、FK-PDEから収集できる情報はあまりありません。
回答
この回答に2つのステップでアプローチしましょう。
まず、与えられた確率的PDEに対して、密度を後で進化させる決定論的PDEが存在することは非常に直感的です。この方程式は、前方コルモゴロフ方程式またはフォッカープランク方程式です。なぜ直感的なのですか？ブラウン運動の将来の分布（定義による）も知っていますが、なぜこれをより複雑な確率論的項に変更する必要があるのでしょうか？
次に、前向き方程式を取得したら、「数学の問題でもあります。それの時間反転バージョンを導出します。これはファインマン-カック方程式であり、分布を時間的に逆方向に伝播します。