これまでの講義では、作成演算子$ a ^ {\ dagger} _ {n} $を定義しました。
誰かが反対称または対称のN粒子状態を取得し、$ a ^ {\ dagger} _ {n} $が別の粒子を状態nにしたので、終了します。対称/反対称N + 1粒子状態になります。この解釈は、これらの$ a ^ {\ dagger}、a $演算子が、面倒なスレイター行列式などを回避するという意味で、私にはどういうわけか明らかです。それにもかかわらず、1つの状態によって拡張または縮小され、この表記の背後に隠されている、明確に定義された対称化/反対称化された製品状態を処理しています。
現在、QMのフィールド演算子も$で定義しています。 \ psi ^ {\ dagger}（r）= \ sum_ {i; \ text {すべての状態}} \ psi_i ^ *（r）a_i ^ {\ dagger}。$位置$ r $にパーティクルを作成すると言いました。どういうわけか、これが何を意味するのかは私にはわかりません。
QMの正確な位置$ r_0 $にパーティクルを作成すると、追加の状態$ \ psi_i（r）= \ deltaが追加されます。 （r-r_0）$スレイター行列式。これがこの背後にある考え方ではないかと思います。ただし、$ a_i ^ {\ dagger} $演算子は$ N $粒子状態に作用し、$ N + 1 $粒子状態にマップされるため、$ \ psi ^ {\ dagger}（r）$についても同じことが当てはまる必要があります。 。それでも、結果の解釈に問題があります。
不明な点がある場合は、お知らせください。
回答
合計の$ \ psi_i $はデルタ関数である必要はありません。たとえば、それらはエネルギー固有関数$$ \ mathcal {H} \ psi_i（r）= E_i \ psi_i（r）$$であると考えることができます。したがって、$ r $で粒子を作成すると、考えられるすべての方法の重ね合わせが得られます。粒子は$ r $になる可能性があります（この特定の基準の選択）：$$ \ underbrace {\ psi ^ \ dagger（r）} _ {\ text {operator}} | 0 \ rangle = \ sum_i \ overbrace {\ psi_i ^ *（r）} ^ {\ text {複素数}} | i \ rangle $$ここで、$ | 0 \ rangle $は真空状態（または必要に応じて基底状態）であり、$ | i \ rangle $はフォック状態 n番目のモードで1つの粒子を使用します。この方程式は、各$ i $について、$ \ psi_i ^ *（r）$は、状態$ i $にあることがわかっている場合、位置$ r $で粒子を見つける確率振幅であると考えることができます。
コメント
- パーティクルが$ r $の位置に到達する可能性のあるすべての方法の重ね合わせを作成するという解釈は私には意味があるように見えます。つまり、私があなたを正しく理解していれば、任意の固有状態で粒子を作成し、この粒子が位置$ r $にある確率振幅を探すということです。 'わからないのは、この概念が$ r $の位置でのパーティクルの実際の作成にどのように関連しているかです。あなたがそれについて考えるならば、これらは2つの異なるものです。このフィールド演算子を使用してモデル化したいものを説明していただけますか？
- 実際にはコンテキストによって異なります。 "粒子"の解釈が常に適切であるとは限りません。より一般的には、これらの演算子は量子状態の作成/消滅と考えることができます。 QFTのコンテキストでは、これらの状態は実際に（通常）粒子状態であり、$ | 0 \ rangle $は粒子のない状態であるため、用語が使用されます。ただし、たとえばNRQMでは、これは当てはまらないことが多く、"真空状態"は、この場合、システムの基底状態にすぎません。 。 "作成" / "破棄"は、特定のフォック空間を別の空間に送信し、その特定の種類の状態を1つ追加/少なくするという意味で述べています。
回答
それを基底変換と考えてください。 $ a_i ^ \ dagger $は、状態$ | i \ rangle $のパーティクルを作成します。これで、この状態$ | i \ rangle $は、位置状態$ | r \ rangle $に関して$$ | i \ rangle = \ int dr \、\ psi_i（r）| r \ rangle、$$として記述できます。したがって、この状態でパーティクルを作成することは、適切な重み$ \ psi_i（r）$で位置状態の重ね合わせでパーティクルを作成することと同じです。同様に、$ | r \ rangle $にローカライズされた粒子は、状態$$ | r \ rangle = \ sum_i \ psi_i ^ *（r）| i \ rangle、$$の重ね合わせにあり、粒子を作成していると説明できます。状態$ | r \ rangle $では、演算子$ \ psi ^ \ dagger（r）$は演算子$ \ sum_i \ psi_i ^ *（r）\、a_i ^ \ dagger $によって定義されます。
コメント
- 申し訳ありませんが、この回答は非常に紛らわしいものです。あなたはポジションを合計しているようです。位置が離散的ではないことに注意してください！したがって、私はあなたの$ | r \ rangle $ 'を理解するのに深刻な問題を抱えています。
- @TobiasHurth：that ' sは単なる表記法です（空間の離散化バージョンについて考えてください）。しかし、それで気分が良くなるのであれば、私はインテグラルに変更しました。