DTFTプロパティを使用してh [n]を検索

これはあなたの入学の宿題によるものです（そしてかなり基本的なものです）、私は噛みます。 DTFT の定義を思い出してください：

$$ X （\ omega）= \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} x [n] e ^ {-j \ omega n} $$

そして周波数応答の定義を思い出してください$ H（ \ omega）$：

$$ H（\ omega）= \ frac {Y（\ omega）} {X（\ omega）} $$

ここで、$ x [n ] $はシステムへの入力であり、$ y [n] $はその出力です。次の2つの方程式を組み合わせます。

$$ \ begin {eqnarray *} H（\ omega）X（\ omega）& = & Y（\ omega）\\ \ frac {1-a ^ 4 e ^ {-j 4 \ omega}} { 1-a ^ 4 e ^ {-j \ omega}} X（\ omega）& = & Y（\ omega）\ \（1-a ^ 4 e ^ {-j 4 \ omega}）X（\ omega）& = &（1-a ^ 4 e ^ {-j \ omega}）Y（\ omega）\\ X（\ omega）-a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega} X（\ omega）& = & Y（\ omega）-a ^ 4 e ^ {-j \ omega} Y（\ omega）\ end {eqnarray *} $$

ここで、方程式の両側で逆DTFTを実行します。定義上、$ X（\ omega）$と$ x [n] $は変換ペアです。同様に$ Y（\ omega）$と$ y [n] $の場合。他の2つの用語については、DTFTのタイムシフトプロパティを思い出してください。

$$ x [nk] \ leftrightarrow e ^ { -jk \ omega} X（\ omega）$$

これは、DFTの定義から簡単に表示できます。このプロパティを使用して、方程式はシステムの差分方程式仕様に逆変換されます。

$$ x [n] -a ^ 4 x [n-4] = y [n] -a ^ 4 y [n-1] $$

$$ y [n] = x [n] -a ^ 4 x [n-4 ] + a ^ 4 y [n-1] $$

これは再帰フィルターの定義であり、通常 IIRです。これが当てはまります。インパルス応答を見つけるのは簡単です。 $ x [n] = \ delta [n] $とし、システム出力が次のようになっていることを確認します。

$$ y [n] = a ^ {4n} u [n] -a ^ {4（ n-4）+4} u [n-4] $$

$$ y [n] = a ^ {4n} u [n] -a ^ {4n-12} u [n- 4] $$

上記は$ a = 0.99 $でプロットされています。システムは$ | a | \ le1 $の間のみ安定していることに注意してください。

コメント

• I 'インパルス応答を計算しようとしましたが、絡まりました。 'がどのように行われたかを教えてください。ありがとうございます。

$$ \ begin {align *} H（\ omega）& = \ frac {1-a ^ 4 \ exp（-4j \ omega）} {1-a ^ 4 \ exp（-j \ omega）} \\ & =（1-a ^ 4 \ exp（-4j \ omega））\ sum_ {n = 0} ^ \ infty（a ^ 4 \ exp（-j \ omega））^ n \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a ^ {4n} \ exp（-nj \ omega）-\ sum_ {n = 0} ^ \ infty a ^ {4n +4} \ exp（-（n + 4）j \ omega）\\ & = \ sum_ {n = 0} ^ 3 a ^ {4n} \ exp（-nj \ omega）+ \ sum_ {n = 4} ^ \ infty [a ^ {4n} –a ^ {4n-12}] \ exp（-nj \ omega）\\ h [n] & = \ begin {cases} 0、& n < 0、\\ a ^ {4n}、& n = 0、1、2、3、\\ a ^ {4n} -a ^ {4n-12}、& n \ geq 4. \ end {cases} \ end {align *} $$インパルス応答は$ \ infty $まで拡張されるため、これはIIRフィルターです。 JasonRは、彼の回答の中で、フィルターは $ | a |の場合にのみ安定していると述べています。 < 1 $。実際、$ | a |の場合、フィルターは安定しています。 \ leq 1 $であり、$ | a |の場合のみ不安定です> 1 $。ただし、$ | a |の場合= 1 $、等比数列の公式$ 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 = \ frac {1-r ^ 4} {1-r} $から、$$ H（\ omega）= \ fracが得られます。 {1- \ exp（-4j \ omega）} {1- \ exp（-j \ omega）} = 1 + \ exp（-j \ omega）+ \ exp（-2j \ omega）+ \ exp（-3j \ omega）$$は、（安定した） FIR フィルターの伝達関数であり、短期積分器として説明できます。または短期平均値（ゲイン$ 4 $）。

コメント

• 優れた代替派生。回答の安定性に関する主張も修正しました。