レイマン'のアインシュタイン'の場の方程式の説明と理解

、ここで $ 8 \ pi G = 1 $ および $ c = 1 $ であるため、係数は $ 1 $ になります。

微分g eometry

アインシュタインの方程式の左側に、時空の幾何学を一緒に説明するいくつかの異なる用語があります。一般相対性理論は、（半）リーマン幾何学として知られる数学的フレームワークを使用する理論です。この数学の分野では、ある意味で滑らかであり、メートル法を備えた空間を研究します。まず、これら2つの意味を理解してみましょう。

滑らかさのプロパティは、通常の3次元空間における滑らかな（2次元）表面の直感的な（そして歴史的に重要な！）例で説明できます。 。たとえば、理想化されたサッカーの表面、つまり2球を想像してみてください。さて、表面の非常に小さなパッチに注意を向けると（ボールを自分の顔にかざす）、ボールはかなり平らに見えます。ただし、明らかにグローバルにフラットではありません。数学的な厳密さに関係なく、局所的に平坦に見えるというこの特性を持つ空間は、ある意味で滑らかであると言えます。数学的には、それらを多様体と呼びます。もちろん、無限の紙のようなグローバルに平坦な表面は、そのような空間の最も単純な例です。

リーマン幾何学（および微分幾何学より一般的に）任意の次元のそのような滑らかな空間（多様体）を研究します。認識しておくべき重要なことの1つは、高次元の空間に埋め込まれていると想像することなく、つまりサッカーで使用できた視覚化やその他の参照なしで、それらを研究できることです。 "スペース自体の外側"である場合とそうでない場合があります。それらとその幾何学を本質的に研究できると言われています。

計量

多様体の幾何学を本質的に研究することになると、主な研究の対象は計量（テンソル）です。物理学者は通常、 $ g _ {\ mu \ nu} $ で表します。ある意味で、それはマニフォールド上の距離の概念を私たちに与えます。メトリックを持つ2次元多様体を考え、その上に"座標グリッド"を配置します。つまり、各点に2つのセットを割り当てます。数値、 $（x、y）$ 。次に、メトリックは、 $ 2 ^ 2 = 4 $ の $ 2 \ times 2 $ マトリックスとして表示できます。エントリ。これらのエントリには、添え字 $ \ mu、\ nu $ でラベルが付けられており、それぞれ $ x $ <と等しくなるように選択できます。 / span>または $ y $ 。メトリックは、単純な数値の配列として理解できます。

$$ \ begin {pmatrix} g_ {xx} & g_ {xy} \\ g_ {yx} & g_ {yy} \ end {pmatrix} $$

メトリックが $ g _ {\ mu \ nu} = g _ {\ nu \ mu} $ のように定義されている、つまりインデックスに関して対称であると言います。これは、この例では、 $ g_ {xy} = g_ {yx} $ であることを意味します。ここで、2つの間の座標の差が $（\ mathrm {d} x、\ mathrm {d} y）\;。$ <となるように、近くにある2つのポイントについて考えます。 / span>これを省略表記で $ \ mathrm {d} l ^ \ mu $ と表すことができます。ここで $ \ mu $ は、 $ x $ または $ y \;、$ および $ \ mathrm {d} l ^ x = \ mathrm {d} x $ および $ \ mathrm {d} l ^ y = \ mathrm {d} y \;。$ 次に、 $ \ mathrm {d} s \;、$ as

$$ \ mathrm {d} s ^ 2 = g_ {xx} \ mathrm {d} x ^ 2 + g_ {yy} \ mathrm { d} y ^ 2 + 2 g_ {xy} \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = \ sum _ {\ mu、\ nu \ in \ {x、y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu $$

これが実際にどのように機能するかを理解するために、無限の2つを見てみましょう-次元のフラットスペース（つまり、上記の用紙）、2つの"標準"平面座標 $ x、 y $ は正方形のグリッドで定義されています。次に、ピタゴラスの定理から、

$$ \ mathrm {d} s ^ 2 = \ mathrm {d} x ^ 2 + \ mathrm { d} y ^ 2 = \ sum _ {\ mu、\ nu \ in \ {x、y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu $ $

これは、この場合、平坦な2次元空間の自然な測定基準が

$で与えられることを示しています。 $ g _ {\ mu \ nu} = \ begin {pmatrix} g_ {xx} & g_ {xy} \\ g_ {xy} & g_ {yy} \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end { pmatrix} $$

これで、近くのポイント間の距離を"測定する方法がわかりました" 、基本的な物理学の典型的な手法を使用して、小さなセグメントを統合して、さらに削除されたポイント間の距離を取得できます。

$ $ L = \ int \ mathrm {d} s = \ int \ sqrt {\ sum _ {\ mu、\ nu \ in \ {x、y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu} $$

ge高次元へのneralizationは簡単です。

曲率テンソル

上記で議論しようとしたように、計量テンソルは多様体の形状（または物理的な場合は時空）を定義します。 。特に、多様体の曲率に関するすべての関連情報をそこから抽出できるはずです。これは、リーマン（曲率）テンソル $ R ^ {\ mu} _ {\ \ \ \ nu \ rho \ sigma} $ は非常に複雑なオブジェクトであり、メトリックの配列視覚化と同様に、各インデックスがpanをとることができる4次元配列と見なすことができます。 $ N $ 座標 $ \ {がある場合、class = “math-container”> $ N $ の値マニフォールド上のx ^ 1、\ dots x ^ N \} $ （つまり、 $ N $ 次元空間を扱っている場合）。これは、今のところそれほど重要ではない複雑な方法で、純粋にメトリックの観点から定義されています。このテンソルは、多様体の曲率に関するほとんどすべての情報を保持します—そして私たちの物理学者が通常興味を持っているよりもはるかに多くの情報を保持します。ただし、本当に何が起こっているのかを知りたい場合は、リーマンテンソルをよく見ると便利な場合があります。たとえば、どこでも消えるリーマンテンソル（ $ R ^ \ mu _ {\ \ \ \ nu \ rho \ sigma} = 0 $ ）保証時空がフラットであること。このようなことが役立つ有名なケースの1つは、シュワルツシルト半径pan class = “mathで特異であると思われるブラックホールを説明するシュワルツシルトメトリックです。 -container “> $ r = r_s \ neq 0 $ 。リーマンテンソルを調べると、ここでは曲率が実際には有限であることが明らかになります。そのため、"実際のではなく座標の特異点を扱っています。 div id = “984130ffe1″>