私のアプローチには根本的な誤りがあるに違いありません。まず、2つの変数$ X_t $と$ Y_t $を使用した単純な回帰があることを説明します。
$ Y_t = BX_t + e_t $
ここで、$ B $は係数です。 $ e_t $は誤差項です。次に、両側から$ Y_ {t-1} $を削除して、上記の方程式の最初の差を取ります。
$ Y_t-Y_ {t-1} = BX_t + e_t-Y_ {t-1} $
最初の方程式から$ Y_ {t-1} $を代入します：
$ Y_t-Y_ {t-1} = BX_t + e_t -BX_ {t-1} -e_ {t-1} $
=> $ΔY_t=BΔX_t+Δe_t$
最初の差分回帰は、この方法で表示されることがよくありますが、その後は実際に実行されるときは、$ X_t $と$ Y_t $をそれらの差で置き換えることによって実行され、両側から$ Y_ {t-1} $を引くことによって実行されません。
$ΔY_t=B_1ΔX_t+ v_t $
ここで、$ v_t $は方程式の新しい誤差項です。これらの手順は同等ではないので、なぜそのように記述されているのですか？さらに、最初の差分モデルの誤差項が頻繁にあるのはなぜですか？ $ \ Delta e_t $として記述されますが、エラー項が原点に関連していないため、同様にこれが当てはまらない場合推定された方程式が単純に異なるため、すべての誤差項。最後に、両側から$ Y_ {t-1} $を引くことによって最初の差分回帰が実行されないのはなぜですか？最初の方程式と同等の結果が得られます（この場合、断面パネルデータはありません）。
回答
実際には、2つの手順は同じです。$$ \ Delta Y_t = B \ Delta X_t + \ Delta \ epsilon_t $$の違いそして$$ \ Delta Y_t = B \ Delta X_t + v_t $$は、$ \ epsilon_t $を観察しないため、2番目を推定できますが、最初は推定できないということです。したがって、最初の方程式はむしろ理論モデルであり、2番目の方程式は実際に使用する推定方程式です。手動で両側から$ Y_ {t-1} $を直接減算したい場合、これは真のエラーを観察した場合にのみ実行できます。 $ v_t $は$ \ epsilon_t $の見積もりであることがわかります。 $ \ Delta Y_t-B \ Delta X_t = \ Delta \ epsilon_t $および$ \ Delta Y_t-B \ Delta X_t = v_t $の場合、理論モデルと回帰方程式を再配置します。$ \ Deltaが真である必要があります。 \ epsilon_t = v_t $。 2つの期間があり、$ B = 0.3 $が時間の経過とともに一定である簡単な例を考えてみます。
$$ \ begin {array} {c | lc | r}時間& Y_t & X_t & Y_t-BX_t = v_t \\ \ hline 1 & 10 & 17 & \\ 2 & 13 & 21 & \\ \ hline \ Delta & 3 & 4 & 3-0.3 \ cdot 4 = 1.8 \ end {array} $$
$ v_t $がすべての$ \ epsilon_t $の一貫した推定値であると仮定します期間（$ B $を固定することによってデータ生成プロセスを決定論的に指定したため、ここでは当てはまります）、$ \ widehat {v} _t = \ Delta \ epsilon_t = 1.8 $は、推定値としての2番目の回帰からの残差です。最初の方程式の誤差。
コメント
- Can ' t観測可能な遅延値を差し引くことによって、最初のモデルを単純に推定するのではありません。左側からYの遅れた値を、右側からXの遅れた値を引くのではなく、両側からYの値を求めます。この方法で観察不可能なエラーを計算する必要はありません（それも可能だと思いますが）。私には、同じベータ係数を仮定することによって違いを仮定したように見えます。はい、係数が同じである場合、エラーは互いに等しくなります。しかし、それは通常のケースではありません。これが、モデルの共同統合が非常に重要である理由です…
- 時間の添え字がないため、$ B $も時間の経過とともに一定であると想定しました。また、一般に、$ e_t $を観察する必要があるため、両側から$ Y_ {t-1} $を減算することはできません。
- 最後の方程式には、誤差項Vtを含む添え字があります。これらの2つの異なる方程式を推定しても、'同じベータは得られません。
- そして、$ B_1 $はどういう意味ですか？ $ B $が' t定数でない場合、$ B_2 X_t –B_1 X_ {t-1} =（B_2 –B_1）\ Deltaであるため、期間を以前のように区別することはできません。 X_t $。
- はい、できます。推定される係数は、最初の式と2番目の式でまったく同じになるため（開始値が0の場合、私が想定したとおり）、そうではありません。最終的な方程式で（したがってb1）。しかし、ここで重要なのは、私があなたを正しく読んでいる場合、最初の差分回帰法は、差分方程式とレベル方程式のB 'が等しいことを前提としていることです…これは明らかに実生活ではそうではありません。差異の推定は、レベルの推定とはまったく異なります…