浮動小数点数の最小値/最大値を計算する方法は？

32ビット浮動小数点の場合、最大値を表IIIに示します。

0.9999998 x 2^127 represented in hex as: mantissa=7FFFFF, exponent=7F. 

仮数/指数を次のように（近い）10進値に分解できます。

7FFFFF <base-16> = 8,388,607 <base-10>. 

23ビットの重要性があるため、8,388,607を2 ^ 23で除算します。 。

8,388,607 / 2^23 = 0.99999988079071044921875 (see Table III) 

指数まで：

7F <base-16> = 127 <base-10> 

そして今度は仮数を乗算します2 ^ 127（指数）

8,388,607 / 2^23 * 2^127 = 8,388,607 * 2^104 = 1.7014116317805962808001687976863 * 10^38 

最大の仮数が使用され、最大の指数であるため、これは最大の32ビット浮動小数点値です。

48ビット浮動小数点は、16ビットの重要度の低い仮数を追加しますが、指数は同じサイズのままです。したがって、最大値は16進数で次のように表されます。

mansissa=7FFFFFFFFF, exponent=7F. 

ここでも、計算できます

7FFFFFFFFF <base-16> = 549,755,813,887 <base-10> 

最大指数はまだ127ですが、[23 + 16 = 39、つまり] 2 ^ 39で割る必要があります。 127-39 = 88なので、2 ^ 88を掛けるだけです。

549,755,813,887 * 2^88 = 1.7014118346015974672186595864716 * 10^38 

可能な限り最大の仮数を使用したため、これは最大の48ビット浮動小数点値です。

したがって、最大値は次のとおりです。

1.7014116317805962808001687976863 * 10^38, for 32-bit, and, 1.7014118346015974672186595864716 * 10^38, for 48-bit 

48ビットの最大値はわずかに大きい32ビットの場合、仮数の末尾に数ビットが追加されるため、これは理にかなっています。

（正確には、48ビット形式の最大数は次の2進数として表すことができます。 39個の1 “とそれに続く880″で構成されます。）

（最小はこの値の負の値です。ゼロでなくてもゼロに最も近いものは、上記のように簡単に計算できます。可能な最小の（正の）仮数：0000001および可能な最小の指数：16進数で80、または10進数で-128）

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FYI

一部の浮動小数点形式は、表現されていない非表示を使用します仮数の1ビット（これにより、fのように、仮数に1ビットの精度が追加されます。次のようになります。すべての数値の最初の2進数（0を除く、または非正規化数、以下を参照）は1であるため、その、そして私たちは余分な精度を持っています）。この特定の形式はこれを行わないようです。

他の浮動小数点形式では、非正規化仮数が許可されます。これにより、精度のビットを追加の（負の）累乗と交換することにより、最小の指数よりも小さい（正の）数値を表すことができます。これは、非表示の1ビットもサポートしない場合はサポートが簡単で、サポートする場合は少し難しくなります。

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8,388,607 / 2 ^ 23は、仮数で得られる値です。 = 0x7FFFFFおよびexponent = 0x00。これはシングルビット値ではなく、 full 仮数とニュートラル、より具体的にはの値です。 zero 指数。

この値が直接8388607ではなく、除算が必要な理由（2 ^ 23によるため、より小さい）予想よりも）暗黙の 基数 は、仮数の後ではなく、仮数の前にあります。したがって、（符号ビット、基数ポイント、23個の1ビット）仮数と+/- 111111111111（ここでは基数ポイントなし、この場合は整数、127 ）指数の場合。

mantissa = 0x7FFFFF with exponent = 0x7Fは、8388607 * 2 ^ 104に対応する最大値です。ここで、104は127-23から取得されます。ここでも、仮数には基数があるため、2の23乗を減算します。初めに。基数ポイントが最後にある場合、最大値（0x7FFFFF、0x7F）は実際には8,388,607 * 2 ^ 127になります。

とりわけ、単一ビット値を検討できる方法がいくつかあります。仮数。 1つはmantissa = 0x400000で、もう1つはmantissa = 0x000001です。基数または指数を考慮しない場合、前者は4,194,304、後者は1です。指数がゼロで基数を考慮すると、前者は0.5（10進数）、後者は0.00000011920928955078125です。最大（または最小）指数を使用して、最大および最小のシングルビット値を計算できます。

（仮数に先行ゼロがある後者の形式は、一部の数値形式では非正規化数と見なされ、正規化された表現は指数が-23の0x400000になることに注意してください）。

コメント

• 疑問が1つあります。 8,388,607 / 2 ^ 23を実行することにより、仮数の1ビットが表すことができるものが得られます。では、8,388,607 / 2 ^ 23 * 2 ^ 127が最大値をどのように表しているのでしょうか？
• @hariprasad、コメント形式で説明するのは難しいので、回答に追記します。
• 最小値はどこですか？タイトルで'が要求されました！
• @CharlieParker最小値と最大値がオフセットされている整数表現とは異なり、浮動小数点形式は符号を使用します&大きさの表現。大きさは指数と仮数で構成されます。その場合、符号の大きさの最大数は、（1）正（符号ビットは0）、（2）可能な最大の指数、および（3）可能な最大の仮数になります。最小数は同じです。符号ビットが変更されることを除いて、（1）負（符号ビットは1）ですが、（2）可能な最大の指数、および（3）可能な最大の仮数です。上で説明したように、最小数は-maxだけなので、-記号を付けるだけです。

IEEE浮動小数点のレイアウト方法から借用して、高速比較を行うことができます：符号、指数、仮数。ただし、そのPDFでは、仮数と指数が逆になっていることがわかります。

つまり、比較するには、最初に符号ビットを確認する必要があります。どちらかが勝者でない場合は、指数を比較してから比較します。仮数。

一方が正でもう一方が負の場合、正が最大になります。

両方が正で、一方の指数が大きい場合、それが最大になります（両方の場合）負の場合は最小）

仮数の場合も同様です。