フォック空間の意味

ヒルベルト空間 $ H $ で記述されたシステムがあるとします。 、たとえば単一の粒子。 $ H $ で記述されたものと同じタイプの2つの相互作用しない粒子のヒルベルト空間は、単なるテンソル積です

$$ H ^ 2：= H \ otimes H $$

より一般的には、 $ N $ 上記の粒子、ヒルベルト空間は

$$ H ^ N：= \ underbrace {H \ otimes \ cdots \ otimes H} _ {N \ text {times}}、$$

$ H ^ 0 $ を $ \ mathbb C $ として定義します（つまり、 $ H $ ）の基礎となるフィールド。

QFTには、異なるpan class = “を絡み合わせる演算子があります。 math-container “> $ H ^ N $ 、つまり、パーティクルを作成して消滅させます。典型的な例は、生成演算子と消滅演算子 $ a ^ * $ と $ a $ です。 $ H ^ N $ と $ H ^ M $ の場合、すべてのマルチの直接合計を取ることによって定義された、より大きなヒルベルト空間で"包括的な"定義を与えることができます。 -粒子空間、つまり

$$ \ Gamma（H）：= \ mathbb C \ oplus H \ oplus H ^ 2 \ oplus \ cdots \ oplus H ^ N \ oplus \ cdots、$$

$ H $ のFockHilbert空間として知られ、 $ e ^ H $ 。

物理的な観点から、上記のFock空間の一般的な定義は重要ではありません。同種粒子は、実際のヒルベルト空間を縮小する明確な（パラ）統計を観測することが知られています（ボソン/フェルミ粒子の場合の対称化/非対称化など）。

コメント

• すばらしい答えです！彼らがこのようなQFT教科書を書いてくれることを願っています。

すばらしい回答ですが、完全を期すために多分それ例を示すために説明します。

$ H ^ 1 $にいくつかの単一粒子状態$ | a \ rangle $、$ | b \ rangle $などが含まれているとします。フォック空間は制限を取り除きます。 は単一の粒子であり、$ H ^ 0 $（1次元）、$ H ^ 1 $、$ H ^ 2 = H \ otimes H $などで構成されます。

• 真空状態のような状態を許可します。これを空のケット$ | \ rangle $、
• すべての単一粒子状態、$ | a \ rangle、|と呼びましょう。 b \ rangle、\ ldots $、
• すべての2粒子状態、$ | aa \ rangle、| ab \ rangle、| ba \ rangle、\ ldots $（この構造では、それらを区別できると見なします）、

ただし、最も重要なのは

• $ \ frac {e ^ {i \ pi / 4などの上記の重ね合わせ }} {\ sqrt2} | \ rangle + \ frac12 | a \ rangle- \ frac12 | aab \ rangle \ otimes \ left（\ frac1 {\ sqrt2} | a \ rangle + \ frac i {\ sqrt2} | b \ rangle \ right）$。

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この空間は、量子ビットのような小さなものから始めても、本質的に無限次元です。基底の助けを借りて結果を想像したい場合は、すべてのコンポーネントの基底状態のリストを連結するだけです：

$$ \ {| \ rangle、| 0 \ rangle、| 1 \ rangle、| 00 \ rangle、| 01 \ rangle、| 10 \ rangle、| 11 \ rangle、| 000 \ rangle、| 001 \ rangle、\ ldots \} $$

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最も簡単な設定では、単一の粒子には明確な状態がないため、$ H ^ 1 $は1次元です。基準状態$ | {} \ circ {} \ rangle \ in H ^ 1 $を選択し、基底を使用してフォック空間を構築することは依然として理にかなっています

$$ \ {| \ rangle =：| 0 \ rangle、| {} \ circ {} \ rangle =：| 1 \ rangle、| {} \ circ {} \ circ {} \ rangle =：| 2 \ rangle、| {} \ circ {} \ circ {} \ circ {} \ rangle =：| 3 \ rangle、\ ldots \}、$$

状態の例としては、たとえば、コヒーレント状態があります

$$ | \ alpha \ rangle = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ alpha ^ n} {\ sqrt {e ^ {| \ alpha | ^ 2} n！}} | n \ rangle $$

そして、振動する粒子が1つしかないのに、調和振動子の「フォノン」のような励起について人々が話すことができる理由の良い例があります。

はい、あります。 必要に応じて、「小さい」空間から「大きい」ヒルベルト空間を構築します。