なぜ力はベクトルなのですか？

うーん…あなたはでオブジェクトから始めます休んで、異なる方向に押すと、異なる方向に移動することに注意してください。次に、2つ以上（平面ジオメトリの場合は3つ、完全な3Dジオメトリの場合は4つ）の非共線力を配置して、互いに打ち消し合うことができることに注意してください（クラスでフォーステーブルのエクササイズを行い、これを自分で行ったことを願っています）。

すでに動いているオブジェクトのデモンストレーションは少しわかりにくいですが、ここでアイデアを取り入れて一般化することができます。

ある意味、これは非常に明白なので、答えるのは難しいです。なぜなら、力を使って行うほとんどすべての は、そのベクトルの性質を利用しているからです。

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• それは人々にのみ明らかですだれがベクトルに慣れているか。しばらくすると、それに慣れると、学ぶのが混乱していたことを忘れます。自分がしたことを忘れて、当時は知らなかった’。これ初心者にうまく説明するのが難しくなります。EGsafeshere’のコメントは正しいですが、力がベクトルである理由を疑問に思っている人は、勢いがなぜであるのか疑問に思うでしょう。 ngは、運動エネルギーには明らかな方向性があると混乱しましたが、’ベクトルではありません。
• 運動エネルギーには方向性がありません。オブジェクトの勢いには方向性があります。正のx方向に2m / sで移動する500gのオブジェクトは、負のx方向に2 m / sで移動する500gのオブジェクトと同じ運動量を持ちませんが、両方とも同じ運動エネルギーを持っています。
• @BillN mmesser314はそれを認識していますが、それは入門学生（特により思慮深い学生）の間で十分に一般的な誤解です。彼は、”これには方向性があるように見える”は、ベクトルと非ベクトルを区別するための十分なツールであるという考えを批判しています。 ‘は、入門学生に’ベクトルのより抽象的な定義を与えるよりも、運動エネルギーの問題に対処したいので、同意しません。’ですが、検討する価値のあるポイントです。
• @dmckeeええ、今日はビオサバールを手で振っていました。 $ I $、isn ‘ taベクトルですが、$ d \ vec {\ ell} $はです。つぶやきながら窒息寸前。 :)それは’まだ私にとって満足のいくベクトルではありませんが、私は鼻を押さえて先に進みます。
• @BillNあなたのKEの例はこれが物理学の初心者にとって扱いにくい理由の良い例です。 ‘いくつかの実験を行って、次のことが示されるまで、KEに方向コンポーネントがないことは必ずしも明らかではありません。’スカラー”エネルギー”注意する価値があります。

ベクトルは、小さな矢印のように追加されるものです。矢印は尾に先端を追加します。

岩の数はベクトルではありません。 2つの岩+2つの岩= 4つの岩。

変位はベクトルです。左に2フィート、再び左に2フィート移動すると、4フィート移動したことになります。 2フィートの長さの左向きの2つの矢印は、先端から尾まで追加され、4フィートの長さの左向きの1つの矢印に相当します。

左に2フィート、右に2フィート移動すると、最初に戻ります。これはまったく動かないのと同じです。この方法で岩を追加することはできません。

このように力を追加します。左側の2つの小さな力は、左側の大きな力に相当します。左右の等しい力は、力がないことを意味します。これは力がベクトルである理由。

編集-コメントは、私がざっと見た点を浮き彫りにします。ベクトルを導入する場合、この点は通常は発生しません。

数学者は、ベクトルを足し合わせてスカラーを掛けると小さな矢印のように振る舞うものとして定義します。物理学者は別の要件を追加します。ベクトルは、座標系の変換の下で不変でなければなりません。

小さな矢印は、見方とは関係なく存在します。曲がっても小さな矢印は変わらないので、前を向いています。同様に、矢印を前方に向けて回転させても、小さな矢印は変化しません。

これは、空間が均一で等方性であるためです。新しい場所や向きに移動した場合にあなたや矢印を変えるような特別な場所や方向は空間にありません。 （地球から離れる場合は重力が異なります。これが重要な場合は、地球も移動する必要があります。）

対照的に、スカラーは座標系の変換では変化しない単一の数値です。岩の数はスカラーです。

ベクトルを表す座標は、座標系が変更されると変更されます。ベクトルの左側のコンポーネントはスカラーではありません。

ベクトルの左座標に平行な1次元の数学的ベクトル空間があります。座標系を回転させると、前方成分になったものと平行になる場合があります。物理学者はそれがベクトル空間であるとは言いません。

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• 説明した内容は、符号付きスカラーとも一致します。 ” forward “または” up 明確にするための動き。
• @ RalfKleberhoff-本当です。良い点を挙げます。
• @RalfKleberhoff符号付きスカラーは、単一次元のベクトルではないのですか？本当に。これはいつも私を混乱させました。スカラーよりもベクトルとの共通点がはるかに多いようです。
• @ jpmc26 physics.stackexchange.com/questions/35562/ …
• @ jpmc26-いい質問です。それに対処するために回答を更新しました。

ちょっとした落とし穴：力はベクトルではありません。勢いのように、それはコベクターまたは 1形式であり、共変です。これはいくつかの方法で見ることができます。

• 仮想仕事の原理から：力は、微小変位$ \ delta \ mathbf {x} $（ベクトル）を微小変化にマッピングする線形関数です。エネルギー$ F \ delta \ mathbf {x} $（スカラー）、したがって定義上、共ベクトル。
• ニュートンの第2法則$ F = ma $：加速度はベクトルであり、力を与えるために質量によって「指数降下」されます。
• 保存力は微分から発生しますポテンシャルエネルギーの$ F = -dV $であり、関数の微分は1形式（共変）です。

ベクトルと共ベクトルの違いは、次の場合には意味がない場合があります。 「物理学について学び始めたばかりです。今のところ、力をベクトルのように「先端から尾まで追加」できることを知っていれば、実際の計算には十分かもしれません。しかし、それは理解が成熟するにつれて注意を払う必要があるものです。次元分析のように、物理的なオブジェクトが何であるかを数学的に注意深く追跡することは、より深い理解を構築し、エラーをキャッチするのに役立ちます。

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• これは、”これが力について考える最も自然な方法であることを示しているため、有用なコメントだと思います。 “は実際には必ずしも真実ではありません。コベクターは非常に自然なものであり、ベクターと同じようにそれらを使用したカリキュラムを想像することができます。私たちが（少なくとも明示的に）しないのは私たちの教育システムの伝統です。
• @FrancisDavey私はむしろ、手遅れになるまでベクトルと対流式放熱器を区別しないという伝統があると言いたいです。 、そしてそれらをすべてベクトルと呼びます。 （私は’一般相対性理論、またはおそらくブラとケットを使った量子力学を学ぶまで、その区別を明確に学びませんでした。’ ve最初の線形代数コースでは明示的であり、列ベクトルと行ベクトルとして表示されましたが、’明示的ではありませんでした。）
• 反対票を投じる価値はありません。しかし、間違いなく賛成する価値はありません。私は’この”物事がどのように変化するか”の定義にわくわくしていません” vector “。ベクトルの数学的定義ははるかに単純です。ベクトルはベクトル空間のメンバーです。2つの演算が与えられた空間であり、8つの単純な公理に従います。この定義によれば、力（ニュートン力学）はベクトルです。
• @DavidHammen ” vector “は、どちらかを意味します1）接ベクトル、すなわち接束の要素（またはより一般的にはテンソル代数の（0,1）-テンソル）または2）いくつかの一般的なベクトル空間の要素。通常、物理学では、” vector “とは”（接線）ベクトル”：’スカラー、関数、2テンソル、または実際にはコベクトルを呼び出さない” vectors “技術的にはすべてがベクトル空間の要素ですが、定義＃2により、OP ‘の”でさえベクトルまたはスカラーを強制することに注意してください”は無意味な質問です！
• これらはすべて本物のベクトルです。 ‘は通常、有用な機能ではないため、通常はベクターを呼び出ししません。 ‘別の定義の” vector “を使用している場合は、詳しく説明する必要があります。

加速度は回転下で3ベクトルのように変換されます（グループO（3））。

加速は回転とブーストの下で4ベクトルのように変換されます（ローレンツグループO（3,1））。

加速はより大きな構造の一部である可能性があります（例：2インデックステンソル）回転、ブースト、ひずみ、並進など、より大きなグループの変換の下で。

私のポイントは、加速度（または力）が3ベクトル（または他の何か）であると言うとき、変換のグループを指定します。たとえば、「加速度は回転の下で3ベクトルのように変換されます」。そのため、これを3ベクトルと呼びます。

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• この質問は明らかにニュートン物理学に関するものでしたが、著者は’完全には理解していません。 ‘物理学のはるかに複雑な領域（作成者が必要としない場合もあります）からの規定に割り込んでいます。 ‘は、ベルヌーイ’の法則について質問し、流体が粘性であるかどうかを指定するように依頼するのと同じです。使用する用語を説明し、専門性のレベルを質問に一致させてください。
• @CodyPまったく介入しません！群論はここで必要なものより少し高いかもしれませんが…ベクトルの定義は、座標の回転の下での量の振る舞いに密接に関係しています。そのアイデアを”大きさと方向”に単純化したという事実は’削除しません座標系の回転と、’不変のものと’ではないものを理解することの重要性。それは進んでいるかもしれませんが、それはOPに答えるために不可欠です’。 KleppnerとKalenkowのレベルでは、ベクトルと座標回転のより広い定義を紹介する必要があります。
• StackExchangeサイトでの@CodyPの質問は’ OPのためだけに。それらはまた、後の訪問者のための永続的なリソースでもあります。ゲイリーがOP ‘を受け入れる可能性は低いですが、さまざまなレベルの回答が望ましいものです。
• 本当ですが、’ターゲットオーディエンスを理解し、ブースト、テンソル、さらには”変換グループ”。例えとして、ベルヌーイ’の法則についての質問で粘度の影響について話すことができますが、注意せずにそうすることは、有用で明確なものよりも、誹謗中傷的に聞こえる可能性が高くなります。
• @CodyPは正しいですが、ある日OPが質問を再検討し、これを理解するかもしれません

私の意見では、本当の答えは、力とは何かについての根本的な哲学的議論ではありません。本当の答えは、力をベクトルとして考えると、どのモデルでも最も重要な単一の基準を満たすモデルが得られるということです。

力をベクトルとして考えることで、実験、特にいくつかを適用する実験を行うときに何が起こるかを予測することができます。たとえば、クレートを氷の上に置き、スプリングスケールが埋め込まれたロープを使用してクレートを引っ張って、すべての力の大きさを測定します。関与している。すべての力とその方向を測定して書き留め、力をベクトルと考え、木枠に作用する結果の力を計算します。これにより、その加速度を予測できます。次に、実際の加速度を測定します。両者は、ある程度の誤りの範囲内で同意する必要があります。

人々はこのような実験を長い間行ってきましたが、これまでのところ、力をベクトルとして考えると間違った結果が得られることを示すものは何も見つかりませんでした。ベクトルとしての力は、次に予測を計算する必要があるときにも正確な結果をもたらす可能性が高いです。

したがって、力は機能するため、ベクトルとして考えることを学びます。そして、哲学者はについて議論することができます。なぜそれが機能するのか、通常は全体像のコンテキストに置くことで、 実験のテストにも耐えてきました。

そうは言っても、当然のことです。力はベクトルであると考えるという考えを思いつく方法。具体的には、各力には方向と大きさがあります。他のコメントで指摘されているように、これは必ずしもそうである必要があることを意味するわけではありません。ベクトル（運動エネルギーには明らかに方向と大きさがありますが、通常はベクトルとは見なされません）。しかし、それがベクトルである可能性があるかどうかを尋ね、その仮説に基づいて実験計画を開始するだけで十分です。

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• 運動エネルギーの変化スカラーです。絶対的な運動エネルギーはありません。絶対運動エネルギーがベクトルとして与えられる場合、それは参照フレームに関連していると理解され、基本的に、与えられたオブジェクトがそのフレームに対して移動を停止した場合に変換されるエネルギーの量を示します。単純にベクトルとして扱うことはできません。たとえば、参照フレームに対して同じ速度で反対方向に移動する2つの等しい質量は、ゼロの運動エネルギーに追加されません。
• @Kaz Your “ただし、絶対的な”コメントは勢いにも当てはまりません。そのため、’は、勢いが考えるのに役立つことが証明されているため、正当な理由ではありません。約ベクトルとして。また、”参照フレームに対して同じ速度で反対方向に移動する2つの等しい質量は、ゼロの運動エネルギーに追加されません”問題が表示されません’。 2つの物体を1つのシステムと見なすと、運動エネルギーは内部エネルギーになります。この問題は、移動する参照フレームに変更すると発生します。この場合、運動エネルギーの合計ベクトルはゼロ以外になります。これは適切なベクトル変換プロパティではありません。
• （もちろん、ゼロ以外になります。疲れたばかりです。実際の問題は、ゼロ以外のベクトルがシステムの内部プロパティに依存することです。 2つのオブジェクトは同じサイズで同じ速度で移動していますか、それとも1つのオブジェクトは大きくて遅いですか？これは変換されたエネルギーに影響します” vector “。）

以前にもこの質問があり、5時間ほど費やしました。結局、これについての説明は、変位がベクトルのように機能するということです。そして、その二階微分である加速度も、1つのように機能します。変位がベクトルのように機能するのはなぜですか？まあ、それは三角法の規則に従い、一方向の変位はそれに垂直な変位とは無関係です。したがって、この動作を包含するようにベクトルの概念を定義します。変位が三角法の規則に従うのはなぜですか？まあ、これは多かれ少なかれ、導き出すのではなく観察することによって発見されました。数学のすべての最も基本的な基礎は、結局のところ、観察と論理でもあります。

ドロールビットを取り除くため方法：あなたは力がその定義からのベクトルであることを知っています。

実際にそうであることを示すために、実験を行います。まず、3つのバネばかり（漁師が魚の重さを量るのに使用するもののような）を同じポイントで互いに取り付け、もう一方の端を引っ張ります。ゼロ以外の力Fが等しい、120度の角度で水平にスケーリングします。構成は下の美しいアスキーグラフィックにあり、各スケールの読み取り値を見ると、力が等しいことがわかります。

 F / / F ----- o \ \ F 

また、中央のアタッチメントポイントが静止している、つまり正味の力がゼロであることに気付くでしょう。

Fがスカラーの場合、ゼロ以外のFを3つ正確に加算または減算して、結果として0を取得することは不可能です。

これで、力はスカラーではないことがわかりました。次に、3つのFを合計してゼロにする方法を見つけようとします。各ばねの方向を各Fにペアリングすると、正確に次のようになります。

 F-----F if you consider the direction each \ / spring was pulled, you can rearrange \ / the forces so that they form a loop, F that is, they add to zero. 

次に、さまざまな設定でさらに実験を行い、いずれの場合も、力を方向とペアになったスカラーとして扱うと正しい結果が得られることを確認します。その時点で、 計算の目的で、力には大きさと方向の両方があります。

一方、ベクトルは方向と対になった大きさにすぎないため、測定の範囲内でを実験的に示しました。力はベクトルです。

の性質によって異なりますあなたのアプローチ、そして「ベクトル」という言葉のあなたの解釈について。概念的には、空間ベクトルは、大きさと方向の両方を持つ量をカプセル化するために使用される数学的オブジェクトです。何かに力を加えると、そのオブジェクトの動きの最終的な結果は、押している強さだけでなく、押している方向にも依存するため、力を次のようにモデル化する必要があります。方向成分を考慮に入れます。これは、3次元でも1次元でも同じです。これが最も簡単な考え方です。

数学的な観点からは、すでに述べたように、定義には暗黙的に含まれています。

「1次元の動きに焦点を当てて説明しました。 3次元の動きの場合、力は加速のようにベクトルのように振る舞うと考えるのが自然です。 “-（はじめにメカニックスへ）クレプナーとコレンコウ。

ニュートン自身が、力のベクトル性を彼の3つの運動法則の第1および第2の結果としました。

コロラリーI：
2つの力が結合された物体は、平行四辺形の対角線を描くと同時に、それらの力が離れた側面を表します。 。

コロラリーII：
したがって、任意の2つの斜めの力ACとCDからの任意の1つの直接力ADの構成、および逆に、任意の1つの直接力の解決について説明します。 ADを2つの斜めの力ACとCDに変換します。これらの構成と解像度は力学から豊富に確認されています。

要するに、力は数学的な意味でカルテシアンベクトルです。ベクトルを構成するもののまたは。

Princepia でのこれらの結果の派生はかなり疑わしいものです。ニュートンの第2法則は、物体にかかる正味の力を扱い、ニュートンの第3法則は、個々の力がどのように対になるかを扱います。しかし、これらの個々の力を正味の力にどのように関連付けるのでしょうか？クレップナーやコレンコウとは異なり、力はベクトルであると述べている他のテキストは、事実上ニュートンの第4の運動法則であると述べています。

手の波の応答（クレップナーやコレンコウなど）は、力が明らかにベクトルとして機能し、次に進みます。非ハンドウェーブ応答は、力がベクトルであると公理的に主張し、次に進むことです。これら2つの応答の間には、微妙ですが重要な違いがあります。手の波の反応は学生を混乱させます。公理的主張は、学生に公理に疑問を投げかけるように勧めます。次のステップはもちろん、公理が実験室の設定に適用されるかどうかをテストすることです。

実際には、物理的な力はベクトルではありません。 3Dの線です。大きさのある線。物理的な力には、次のプロパティが含まれます

• 方向、$ \ mathbf {e} $
• 線に沿った任意の点、$ \ mathbf {r} $
• 大きさ、$ F $

物理的な力をベクトルで表すには、大きさと方向を組み合わせて$ \ mathbf {F} = F \、\ mathbf {e } $単一のベクトル。しかし、これにはまだ物理的な力を説明するために必要な情報が不足しています。

場所（アプリケーションのポイント、または呼ばれるアクションのライン）も必要です。ここでは、実際の点$ \ mathbf {r} $か、原点$ \ mathbf {M} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} $に関する等極性モーメントのどちらかを選択できます。後者を選択した場合、$ \ mathbf {r} = \ frac {\ mathbf {F} \ times \ mathbf {M}} {\ |でポイントを回復できます。 \ mathbf {F} \ | ^ 2} $。

ベクトル代数の規則に従うため、よく知っている力ベクトルが一般的に使用されます

• 追加が行われます。コンポーネント別$$ \ mathbf {F} _1 + \ mathbf {F} _2 = \ pmatrix {{Fx} _1 + {Fx} _2 \\ {Fy} _1 + {Fy} _2 \\ {Fz} _1 + {Fz} _2} $$
• スケーリングはコンポーネント$$ \ lambda \、\ mathbf {F} = \ pmatrix {\ lambda \、{Fx} \\ \ lambda \、{Fy} \\ \ lambda \によって行われます。 、{Fz}} $$
• ただし、2つの焦点の位置は、ベターのように合計されません。

ベクトルで物理的な力を表すには、次の6つの成分量が必要です。ねじ$$ \ hat {f} = \ left [\ matrix {\ mathbf {F} \\ \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}} \ right] $$線形代数の規則に従い、運ぶそれらの内部の位置情報により、正しい幾何学的および代数的結果が生成されます。

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• これは力のn番目の定義です” vector “？
• この投稿を読むためにスクリューベクトルの定義。

力が not ベクトル。

まず、次の点に注意してください。

物理法則は空間で不変です。オブジェクトがパリにあるか北京にあるかにかかわらず、力が作用した場合、オブジェクトは同じように動作します。

さらに、次の点に注意してください。

物理法則は、空間回転の下では不変です。サッカーボールを蹴ると、あなたがいるかどうかに関係なく、あなたから遠ざかります。西または東を向いています。

ここで、テーブルに置かれているボールに力を加えたと想像してください。次のことを観察するとします。

ボールは1m / sの速度で東に転がり始めます。

待ちます。 「東」はどこから来たのですか？ボールが西転がらないのはなぜですか？したがって、当然のことながら次のように結論付けます。

に含まれる追加情報が必要です。ボールに加えた力。

その追加情報は方向です。

ニュートンの第2運動法則によれば、体に作用する力は運動量の変化率に比例し、力が向かう方向にあります。適用されます。これで、ステートメントから、力には大きさと方向があることがわかります。したがって、それはベクトルです。質量（スカラー）と加速度（ベクトル）の内積として表示することもできます。これにより、ベクトルが得られます。