このの回答で、ジム・クレイは次のように書いています。
… $ \ mathcal F \ {\ cos（x）\} = \ frac {\ delta（w-1）という事実を使用します+ \ delta（w + 1）} {2} $ …
上記の式は$ \ mathcal F \ {{ \ cos（2 \ pi f_0t）\} = \ frac {1} {2}（\ delta（f-f_0）+ \ delta（f + f_0））} $。
試しましたフーリエ変換の標準定義$ X（f）= \ int _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} x（t）e ^ {-j2 \ pi ft} dt $を使用して、後の式を取得しますが、すべて最終的には、明らかに答えとは異なる表現になります。
これが私の仕事です：
\ begin {align} x（t）& = \ cos（2 \ pi f_0t）\\ \ Longrightarrow \ mathcal F \ left \ {x（t）\ right \} & = \ int _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} \ cos（2 \ pi f_0t）e ^ {-j2 \ pi ft} dt \\ & = \ int _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} \ frac 12 \ left（e ^ {-j2 \ pi f_0t} + e ^ {j 2 \ pi f_0t} \ right）e ^ {-j2 \ pi ft} dt \\ & = \ frac {1} {2} \ int _ {-\ infty} ^ { + \ infty} \ left（e ^ {-j2 \ pi f_0t} e ^ {-j2 \ pi ft} + e ^ {j2 \ pi f_0t} e ^ {-j2 \ pi ft} \ right）dt \\ & = \ frac {1} {2} \ int _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} \ left（e ^ {-j2 \ pi t \ left（f_0 + f \ right）} + e ^ {-j2 \ pi t \ left（f-f_0 \ right）} \ right）dt \\ & = \ frac {1} {2} \ left（\ int _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} \ left（e ^ {-j2 \ pi t（f_0 + f）} \ right）dt + \ int _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} \ left（e ^ {-j2 \ pi t（f-f_0）} \ right）\ right）dt \ end {align}
ここで私は立ち往生しています。
回答
$ \ cos（2 \ pi f_0 t）$のフーリエ変換がに存在しないという問題を除いて、作業は問題ありません。 $ f $の関数の通常の意味であり、分布、インパルス、またはディラックのデルタと呼ばれるものを含めるように概念を拡張する必要があります。または（エンジニアがやらないように、数学者の嫌悪感）デルタ関数。信号$ x（t）$のフーリエ変換$ X（f）$が（通常の意味で）存在し、$ \ cos（2 \ pi f_0 t）$にはフーリエ変換がないことがわかります。通常の意味です。
特定の質問に移ると、インパルスは、積分の被積分関数としてどのように動作するか、つまり$ a < x_0 < b $、$$ \ int_ {a} ^ {b} \ delta（x-x_0）g（x）\、\ mathrm dx = g（ x_0）$$ $ g（x）$が$ x_0 $で連続している場合、$$ \ cos（2 \ pi f_0 t）= \ leftのフーリエ変換を推定する方が簡単です。 。\ left。\ frac {1} {2} \ right [e ^ {j2 \ pi f_0 t} + e ^ {-j2 \ pi f_0 t} \ right] $$その$$ \ int_ {-\ infty} ^ \ infty \ delta（f-f_0）e ^ {j2 \ pi ft} \、\ mathrm df = e ^ {j2 \ pi f_0t} $$なので、$ \ cos（2 \ pi f_0 t）$は、$ \ displaystyle \ left。\ left。\ frac {1} {2} \ right [\ delta（f-f_0）+ \ delta（）の逆フーリエ変換です。 f + f_0）\ right] $。
回答
次にフーリエ変換ペアのテーブルを使用して、$ \ delta（t）\ leftrightarrow 1 $と変数置換（$ f_1 = f + f_0 $および$ f_2 = f-f_0 $）、必要なものを取得します。
コメント
- もちろん、誰がどのように質問するかについて質問します。テーブルを書き留めると、テーブルにある答えが思い浮かびました。
- @DilipSarwate :-)これで、'はるかに難しい質問をすることになります。 🙂
- math.SEにない場合、このスタックエクスチェンジで集会を通過する可能性のあるはるかに難しい質問に対する回答のバージョンについては、私の回答を参照してください！
- @DilipSarwate：あなた'すでに+1を取得しています。ありがとう、いい答え。 math.SEの男はぞっとすることに同意しました。はい、'エンジニアです。 🙂
- dsp.stackexchange.com/questions/14990/ …