次のように定義される単位ステップ信号
$$ u [n] = \ lbrace 1; n > = 0; \\ \ qquad0; n < 0 \ rbrace $$
アプローチのタイプに応じて、フーリエドメイン表現に対して3つの可能な解決策があります。これらは次のとおりです-
- 広く採用されているアプローチ（Oppenheim Textbook）-符号関数のフーリエ変換から単位ステップ関数のフーリエ変換を計算します。
$$ F（u [n]）= U（j \ omega）= \ pi \ delta（\ omega）+ \ frac {1} {j \ omega} $$
- 単位ステップ関数のZ変換から計算されたフーリエ変換（Proakis Textbook、 Digital Signal Processing Algorithms and Applications 、267,268ページのセクション4.2.8を参照）
$$ U（j \ omega）= \ frac {e ^ {\ frac {j \ omega} {2}}} {2j \ sin \ frac {\ omega} {2}}; \ omega \ neq 2 \ pi k; k = 0,1,2,3 … $$
- 偶数関数と奇数関数に分割して計算されたフーリエ変換-Proakis教科書（Proakis教科書を参照、デジタル信号処理アルゴリズムとアプリケーション、618ページセクション8.1）$$ U（j \ omega）= \ pi \ delta（\ omega）+ \ frac {1} {1-e ^ {-j \ omega}} $$
2番目の表現は、行儀の良い関数ではないため、無視できます。しかし、ProakisとOppenheimが従うアプローチは等しく有効です（フーリエ変換を拡張して周波数領域にインパルスを含めます）が、混乱はそれらが異なる解決策を提供することです。
私の理解に間違いはありますか？または私は重要なポイントを逃していますか？これと、すべてのアプリケーションで使用できる正しいフォームを理解するのを手伝ってください。 （クラマース・クローニッヒ関係の導出にはオッペンハイムのアプローチが使用され、ヒルベルト変換の導出にはプロアキスのアプローチが使用されていることがわかりました）
回答
最初の式は連続単位ステップ$ u（t）$のフーリエ変換であるため、離散時間ステップシーケンス$ u [には適用されないことに注意してください。 n] $。さらに、2番目と3番目の式はどちらも正しく、2番目の式が$ 2 \ pi $の整数倍で有効性を主張しないことを考慮すると同じです。
If $ 2 \ pi $の倍数の角度周波数を除外すると、3番目の式は次のようになります
$$ U（j \ omega）= \ frac {1} {1-e ^ {-j \ omega}} = \ frac {1} {e ^ {-j \ omega / 2}（e ^ {j \ omega / 2} -e ^ {-j \ omega / 2}）} = \ frac {e ^ {j \ omega / 2}} {2j \ sin（\ omega / 2）}、\ quad \ omega \ neq 2k \ pi $$
これは、2番目の式と同じです。
コメント
- どうもありがとう！2番目と3番目は同等ですが、第三に、それらは極での衝動を含むことによって構成を持っています。明確化していただきありがとうございます
回答
マットが言ったように、2番目と3番目の定義は同じです。インパルスのある部分。インパルス（ $ \ pi \ delta（\ omega）$ ）は、 $ u [n] $のDC値を説明します。 。その用語（つまり、2番目の定義）がない場合、実際には $ v [n] = \ frac {1} {2} \ operatorname {sgn} [n] $ <のFTです。 / span>。 $ u [n] = v [n] + \ frac {1} {2} $ があります。したがって、 $ u [n] $ のFTには、 $ \ frac {1の追加を説明する追加の用語があります。 } {2} $ 。また、 $ u [n] $ の離散時間FT（またはDTFT）は、 $ U（e ^ {j \ omega}）$ 。
最初の定義