フーリエ変換の指数項はどういう意味ですか？

これは、複素平面の単位円上で永久に回転する複素指数です：

$$ e ^ {-j \ omega t} = \ cos（\ omega t）-j \ sin（\ omega t）。$$

フーリエ変換は計算と考えることができます $ f（t）$ と各周波数の複素指数との相関関係、それらがどれほど類似しているかを比較します。そのような複素指数は、時間になり得るという優れた品質を備えています-それらに複素数の単位マグニを掛けることによってシフトtude（一定の複素指数）。特定の周波数でのフーリエ変換の結果が非実数の複素数である場合、その周波数の複素指数にその複素数を掛けて、時間的にシフトさせ、 $ f（t）$ が最大化されます。

考えたくない場合虚数、複素数、関数の場合、FTの複素指数は、正弦波と（同じ周波数の）余弦波の両方を1つの関数にまとめて、黒板に必要なチョークを少なくするための省略形と考えることもできます。書き込み。

フーリエ変換、ラプラス変換、Z変換など、指数は次のようになります。 線形および時間不変（LTI）演算子の固有関数。 「時間」の指数関数がLTIに入ると、それと同じような（ただし固有値によってスケーリングされた）指数関数が出てきます。何F.T.一般的な関数をこれらの指数の合計に分解します。これは、逆フーリエ変換を見るとわかります。

フーリエ変換：

$$ f（t）= \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {-\ infty} ^ { \ infty} F（t）e ^ {i \ omega t} dt \\ F（\ omega）= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} f（t）e ^ {-i \ omega t} dt $$

関数を調和関数の積分に変換します。 $ e ^ {i \ theta} = cos（\ theta）+ i \ sin（\ theta）$であるため、これらは罪と余弦定理と考えることができます。フーリエ級数の連続形式としてのフーリエ変換。周期信号を他の実際の周期（調和）信号の合計に変換します。

$$ f（t）= a_0 + \ sum_ {n = 1 } ^ {\ infty} a_n \ cos（n \ omega t）+ b_n \ sin（n \ omega t）$$

フーリエ変換では、係数$ a_n $と$を考えることができます。 b_n $は連続関数の値を調べます。比較をさらに進めるために、シリーズの複雑なバージョンがあります。

$$ f（t）= \ sum_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} a_n e ^ {in \ omega t} = \ sum_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} a_n \ cos（n \ omega t）+ b_n i \ sin（n \ omega t）$$

コメント

• $ t $または$ x $のいずれか（両方ではない）の 1つの独立変数に固執するようにしてください。さらに、'聞いていない'よりも良い単語を見つけてください。'ここでは意味がありません。
• また、正弦関数と指数関数の引数に$ \ omega $がありません：$ \ cos（n \ omega t）$など。
• @MattL。 $ \ omega $が必要ですか？フーリエ変換には$ e ^ {i \ omega t} $がありますが、シリーズでは" $ n $ "が実行されます$ \ omega $の。 'そうですか？
• いいえ、$ \ omega = 2 \ pi / T $です。ここで、$ T $は$ f（t）の期間です。 $、つまり$ T = 2 \ pi $でない限り$ \ omega $が必要です。
• わかりました。意味がわかります。

ケースを検討してください $ \ f（t）= 2 \ cos（\ omega_0 t）= e ^ {+ i \ omega_0 t} + e ^ {-i \ omega_0t}。\ $ 次に

$$ F（\ omega）= \ int \ limits _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i（-\ omega + \ omega_0）t} \ dt + \ int \ limits _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i（-\ omega- \ omega_0）t} \ dt \\ $$

$ | \ omega | \ ne | \ omega_0 | $ 、両方の被積分関数はゼロの周りで振動し、積分は事実上ゼロです。ゼロ以外の結果は、

$$ F（\ omega_0）= \ int \ limits _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {のみです。 i（0）t} \ dt + \ int \ limits _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i（-2 \ omega_0）t} \ dt \ = \ \ int \ limits _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} 1 \ dt \ + \ 0 \\ F（-\ omega_0）= \ int \ limits _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i（2 \ omega_0）t} \ dt + \ int \ limits _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i（0）t} \ dt \ = \ 0 \ + \ \ int \ limits _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} 1 \ dt $$

これはしばしば $ F（\ omega）= \ delta（\ omega- \ omega_0）+ \ delta \として表されますbig（\ omega-（-\ omega_0）\ big）= \ delta（\ omega- \ omega_0）+ \ delta（\ omega + \ omega_0）。$

つまり、引数の任意の値 $ \ omega $ 、 $ e ^ {-i \ omega t} $ factorは、その周波数での $ f（t）$ のコンポーネントを $ 0 $ および他のすべてのコンポーネントに変換します。ゼロから離れて。次に、無限積分により、 $ 0 $ でコンポーネントの強度の測定値が生成されます。

$ f（t）= e ^ {i \ omega_0 t} $ 、次に $ F（\ omega）= \ delta（\ omega- \ omega_0）$ 。これが実際に意味するのは、 $ \ omega_0 $ の符号が関数 $ e ^ {i \から明確に推測できるということです。 omega_0 t} $ 。 $ \ cos（\ omega_0 t）$ と三角測量的に同一であるため、 $ \ cos（\ omega_0 t）$ から推定することはできません。 \ omega_0 t）$ 。フーリエ変換は、 $ \ omega = \ omega_0 $ と $ \ omega =の両方でゼロ以外の応答を与えることにより、このあいまいさを処理します。 -\ omega_0 $ 。 $ \ omega_0 $ であるため、 $ \ cos（\ omega_0 t）$ に両方の周波数が含まれているわけではありません。値は1つだけにすることができます。正しい解釈は、 $ e ^ {i \ omega_0 t} $ には $ \ cosよりも多くの情報が含まれているということです。 （\ omega_0 t）$ 。式 $ \ e ^ {+ i \ omega_0 t} + e ^ {-i \ omega_0 t} \ $ は詳細情報のように見えますが、実際にはキャンセルです

コメント

• "これは$ cos（\ omega_0 t）$を意味するものではありません。 $ \ omega_0 $は1つの値しか持てないため、両方の周波数が含まれます。"いいえ。コサインは、反対の周波数の2つの複雑な純粋なトーン（2つの異なる値）の合計です。 'わからないのは、$ \ omega_0 $の記号です。どちらも、平方根を選択するのと同様に、有効な解釈です。したがって、慣例により、実数値の純音の周波数は正と見なされます。
• @ Cedron-関数$ f（x）= x ^ 2 + ix $について考えます。 $ \ $ And $ \ \したがって、\ f（-x）= x ^ 2 -ix $ $ \ x ^ 2 = \ tfrac {1} {2}（f（x）+ f（-x））\ $すべき$ x ^ 2 $は実数直線上の単なる関数以上のものであると結論付けますか？それは密かに2つの複雑な機能でできていますか？もしそうなら、どちらの2つですか？… $ f（x）$を$ x ^ 2 + ix ^ 3 $と同じくらい簡単に定義できたからです。
• これは関数分解について。 $ f（x）= x ^ 2 = x ^ {3/2} x ^ {1/2} $と同じように簡単に言うことができます。フレーズ"には両方の周波数が含まれています"は、FTのコンテキストにあります（この場合は連続）。 $ cos $の周波数が1つしかない場合、スペクトルにはゼロ以外の値が1つだけあります。
• 私は'どのように議論するのが理にかなっているとは思いません。周期関数への "合理的な"分解の意味について合意せずに、一般的な信号に含まれる多くの周波数。 周波数は、周波数の周期成分の単なる省略表現です。合理的な分解には、たとえば、互いに完全にキャンセルするコンポーネントや同一のコンポーネントは含まれません。
• @ Olli-デルタの編集上の助けに感謝します。 '見た目がよくないと思いましたが、'理由がわかりませんでした。