フーリエ級数の観点から示される方形波は次のとおりです： 
上記の係数は、方形波が奇数の高調波のみで構成されていることを示しています。
ただし、ここでは方形波の下にあります。フーリエ変換の観点から提示： 
上のプロットは、方形波は、高調波だけでなくすべての周波数で構成され、プロットは連続的です。
方形波のFFTを見ると、連続的なフーリエ変換のように見えます。
級数と変換により、方形波の解釈が異なります。なぜですか？
コメント
- 方形波のフーリエ変換はインパルス列としてのみ存在しますそしてあなたが示したように表現することはできません。あなたが持っているのは、別の数列である数列の離散フーリエ変換です。 （FFT アルゴリズムを介してDFTを計算し、それをFFTと呼んでいることはここでは無関係です）。 DFTである数値のシーケンスには、表示したプロットがありません。フーリエ級数係数グラフと同様に、ドットのシーケンスである必要があります。グラフィックプログラムが"ドットを接続しました"残念です。
- よくわかりません。しかし、それで構成される方形波とは何ですか？それが問題です。周波数で1kHzの方形波を実行します。ドメインには999Hzの成分が含まれるか、1kHzの奇数次高調波のみで構成されます。級数とFFTを見ると、なぜそれらが異なるのですか？
- 表示された2つのスペクトルが異なるとどのように主張するのかわかりません。
- @ robertbristow-johnson1つは連続ですもう1つは離散的です。 uが連続プロットに従う場合、uは1Hzの方形波信号について、3Hzの成分よりも大きい1.1Hzの成分があると結論付ける可能性があります。それは間違っているでしょう。連続プロットが間違っているので、スコープに表示されます。
- 2番目のプロットは、方形波の連続フーリエ変換を表していると思いますか？
回答
方形波のフーリエ級数展開は、実際には、基本周波数の奇数整数倍の正弦波の合計です。したがって、あなたのコメントに答えると、1kHzの方形波にはではなく 999 Hzの成分が含まれていますが、 1kHz。
フーリエ変換は、特定の信号に存在する周波数成分を示します。この場合、信号は周期的であるため、フーリエ級数とフーリエ変換の両方を計算でき、同じ情報が得られるはずです。連続周期方形波のフーリエ変換は、フーリエ級数展開に含まれるすべての高調波のインパルスで構成されます。 Oppenheimの Signals and Systems からのこの写真が役立つかもしれません。
実際のフーリエ変換はインパルスのみです。点線はこの質問には当てはまらないsinc関数ですが、この変換には次のような概念があります。たまたまsincである正方形パルス（つまり、周期的でない信号）の変換と関係があります。
数学的に言えば：
- フーリエ級数係数は$$ \ frac {\ sin（k \ omega_0 T）} {k \ pi} $$
- フーリエ変換は$$ \ sum \ limits_ {k =-\ infty} ^ {\です。 infty} \ frac {2 \ sin（k \ omega_0 T）} {k} \ delta（\ omega –k \ omega_0）$$
したがって、級数係数とフーリエ変換は次のようになります。 $ 2 \ pi $の比例係数があり、最初のケースではバーをプロットすることを除いて同じです（係数は関数を記述していないため、それらは単なる数値です）が、2番目のケースではインパルスがあります（なぜならF私たちの変換は関数です。
コメント
- 理解できないので、実際には1kHzの方形波には999 Hzの成分がありませんか？しかし、オシロスコープでは、999Hzの成分が3kHzの成分よりも大きくなります。わかりません。
- いいえ、純粋に 1kHzの方形波には999Hzの成分がありません'。
- 方形波をスコープに供給して、そのFFTを確認してください。驚かれるかもしれません。それが私がこの質問をした理由です
- 実際には、関数発生器は理想的ではありません。それらにはノイズがあり、方形波は実際には方形ではありません。したがって、測定している波の振幅があまり大きくない場合は、ジェネレータとオシロスコープ自体のノイズが測定に干渉します（また、スコープのFFT関数は正確な測定には不十分なツールです）、3、5、または7kHzのコンポーネントは比較して非常に小さくなる可能性があります。それはあなたが得ているものを説明するかもしれません。