インパルス列の周波数表現の導出について説明します。
定義周期$ T $のインパルス列関数とサンプリング周波数$ \ Omega_s = 2 \ pi / T $の周波数表現の導出は、次のとおりです。
\ begin {align *} s（ t）& = \ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} \ delta（t –nT）\\ S（j \ Omega）& = \ frac {2 \ pi} {T} \ sum \ Limits_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} \ delta（\ Omega-k \ Omega_s）\\ \ end { align *}
インパルス関数の指数フーリエ級数表現を使用し、そこからフーリエ変換を適用すると、次のようになります。
\ begin {align *} s（t）& = \ frac {1} {T} \ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} e ^ {-jn \ Omega_s t} \\ S（j \ Omega ）& = \ int _ {-\ infty} ^ \ infty s（t）e ^ {-j \ Omega t} dt \\ S（j \ Omega）& = \ int _ {-\ i nfty} ^ \ infty \ frac {1} {T} \ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} e ^ {-jn \ Omega_s t} e ^ {-j \ Omega t} dt \\ S（j \ Omega）& = \ frac {1} {T} \ int _ {-\ infty} ^ \ infty \ sum \ limits_ {k =-\ infty} ^ { \ infty} e ^ {-j（k \ Omega_s + \ Omega）t} dt \\ \ end {align *}
そこから最終結果に到達するには、統合は次のように思われます。 $ 2 \ pi $の期間を超える必要があります。 $ \ Omega = -k \ Omega_s $の場合、指数は$ e ^ 0 $で$ 2 \ pi $に積分され、$ \ Omega $の他の値の場合、ゼロに積分される完全な正弦波が存在します。ただし、積分の限界は負の無限大から正の無限大です。誰かがこれを説明できますか？ありがとう！
回答
発生する積分が従来の意味で収束しないことを正しく理解しました。最も簡単な（そして結果を確認するための厳密ではない）方法は、フーリエ変換の関係に注目することです
$$ 1 \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta（\ Omega）$$
シフトによって/変調特性
$$ e ^ {j \ Omega_0t} \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta（\ Omega- \ Omega_0）$$
つまり、各項$ e ^ {フーリエ級数のjn \ Omega_s t} $は$ 2 \ pi \ delta（\ Omega-n \ Omega_s）$に変換され、結果は次のようになります。
コメント
- これは完璧で、私が思っていたよりもずっと簡単です。ありがとうございました!!!
- 他の答えも正しかったです。受け入れたものを切り替えました。
回答
@MattLは、上記の結果を確認するための優れた簡単な方法を提案しました。
ただし、あなたが言及した通常の分析方程式で結果を見たい場合は、以下のようにすることができます。
S（t）は周期的なインパルス列であるため、S（t）は次のように記述できます。
$$ \ S（t）= \ sum_ {n =-\ infty } ^ {\ infty} \ delta（t-nT）$$
これで、フーリエ級数のS（t）を取る場合、S（t）を次のように書くことができます
$$ S（t）= \ sum_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} C_ke ^ {jnw_ot} $$
ここで、$ C_n $は指数フーリエ級数係数で、$ w_o $は基本周波数。
したがって、指数フーリエ級数から、
$$ C_n =（1 / T）\ int _ {-T / 2} ^ {T / 2} S（ t）e ^ {-jnw_ot} dt $$
ここで、上記の式で、最初の式のS（t）の値を代入します。
したがって、$$ C_n =（1 / T）\ sum_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} \ int _ {-T / 2} ^ {T / 2} \ delta（t-nT）e ^ {-jnw_ot} dt $$
ここで、観測を行う必要があります。積分を観測する場合、-T / 2から+ T / 2までです。この積分期間中に、単一のインパルス$ \ delta（t）$のみが存在することに注意してください。合計の他のすべてのインパルス関数は、T / 2の後または-T / 2の前に発生します。したがって、合計すると、上記の$ C_n $の式は、次のように記述できます。
$$ C_n =（1 / T）\ sum_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} \ delta（t）e ^ {-jnw_ot} $$
ふるい分けプロパティから、上記を次のように書くことができます
$$ C_n =（1 / T）e ^ {-jw_on（0）} =（ 1 / T）$$
ここで、この$ C_n $の値を最初のS（t）方程式に入れます
$$ S（t）=（1 / T）\ sum_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} e ^ {jnw_ot} $$
ここで、上記の式のフーリエ変換を見つけます
$$ 1 \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta （w）$$
$$ e ^ {jw_ot} \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta（w-w_o）$$
したがって、フーリエ変換は$$ S（jw ）=（2 \ pi / T）\ sum_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} \ delta（w-nw_o）$$
これは役立つはずです。