したがって、$ {\ bf R} ^ {n \ times p} $にはFrobenius内積があります。 $$ \ langle A、B \ rangle = \ text {tr}（A ^ TB）$$
で与えられます。これは、$ {\ bf R} ^ {npのユークリッド内積として解釈できます。 } $。私の理解では、$ {\ bf R} ^ {np} $のすべての内積は、$ P $の正定値に対して$$ a ^ TPb $$として記述できます。 $ {\ bf R} ^ {n \ times p} $でフロベニウス内部積を拡張しようとするときに私ができる最善のことは、$$ \ langle A、B \ rangle = \ sum_ {i = 1}の形式です。 ^ N \ text {tr}（（X_iAY_i）^ T（X_iBY_i））$$ for $ X_i \ in {\ bf R} ^ {m_i \ times n} $および$ Y_i \ in {\ bf R} ^ {p \ times q_i} $すべてフルランク。ただし、これが$ {\ bf R} ^ {np} $のすべての内積をカバーするのか、それとも冗長性のために必要以上に複雑なのかを知りたいのです。
$ {\ bf R} ^ {n \ times p} $の標準基底を取り、行列を形成することにより、特定の行列内積に対応する$ P $行列
\ begin {bmatrix} \ langle E_1 、E_1 \ rangle & \ langle E_1、E_2 \ rangle & \ dots & \ langle E_1、E_ {np} \ rangle \\ \ langle E_2、E_1 \ rangle & \ langle E_2、E_2 \ rangle & & \ vdots \\ \ vdots & & \ ddots \\ \ langle E_ {np }、E_1 \ rangle & \ dots & \ dots & \ langle E_ {np }、E_ {np} \ rangle \ end {bmatrix}
しかし、上記の行列内積の一般的な形式がすべての正定行列をカバーするかどうかはわかりません。 $ P $。
更新：
この質問の新しいバージョンMathOverflow： https://mathoverflow.net/questions/229675/extending-the-trace-inner-product-to-all-matrix-real-inner-products
コメント
- SciComp.SEへようこそ！これは興味深い質問ですが、 math.stackexchange.com の方がはるかに適切なようです。 （'計算科学の問題への接続がない場合'が欠落している場合を除き、その場合は'追加できれば素晴らしいと思います。）
- @ChristianClason、'は、リーマン多様体のリーマン多様体の最適化に関連しています。行列は接空間の内積です。 'はほぼ間違いなくMath.SEには高度すぎます。他の適切な場所は、MathOverflowだけです。解決策であることを証明するという面倒な作業を行った後、回答として投稿できる解決策を実際に見つけたかもしれませんが、'移行したい場合これをMathOverflowに'大丈夫です。 '機会があれば、最適化コンテキストを追加します。
- 行列$ P $も、正定値だけでなく対称でなければなりません。
- @WolfgangBangerth、正定値は対称を意味すると理解されています。
- すべての作者にとって正定値は対称を意味するわけではありません。
回答
内積を操作として見ることができます$ f（a、b）= \ left < a、b \ right > $、つまり、（i）非負の数を返し、（ii）関係$ f（a、b）= f（b、 a）$。
ベクトル$ a、b \ in \ mathbb R ^ n $の場合、これらのプロパティを満たすすべての双線形関数は、$$ f（a、b）= \ sum_ {i、j = 1と書くことができます。 } ^ n a_i P_ {ij} b_j $$ここで、$ P $は対称で、正定値です。行列$ a、b \ in \ mathbb R ^ {n \ times p} $の場合、このような関数はすべて$$ f（a、b）= \ sum_ {i、k = 1} ^ n \ sum_ {と書くことができます。 j、l = 1} ^ p a_ {ij} P_ {ijkl} b_ {kl} $$ここで、$ P $は、$ P_ {ijkl} = P_ {klij}という意味で対称なランク4のテンソルです。 $と正定値は、すべての$ a \ neq 0 $に対して$ f（a、a）> 0 $という意味で明確です。
あなたの質問は要約するとそのような条件を満たすすべての$ P $が、ベクトル$ X_i、Y_i $から生じる形式で記述できるかどうか。これに対する答えはノーだと思います。これは、（簡単にするために$ n = p $と仮定して）対称$ P $には（漸近的に）$ n ^ 4/2 $の自由度があるのに対し、$ n $ベクトル$ X_i、Y_i $には$ 2nしかないためです。 ^ 2 $自由度。言い換えれば、$ n $が十分に大きい場合、アプローチに十分な自由度があるとは思いません。
コメント
- I実際には答えはイエスだと信じています。'更新された結果で数学のオーバーフローについてこの質問を再投稿します。
- はい、パラメータの数が増えるというあなたの主張ベクトル内積空間では二次的に、行列内積空間では二次的にのみ説得力がありますが、空間は最終的に有限であるため、$ N $を適切に増やすことでこれを克服できるはずです。
- この質問の新しいバージョンをMathOverflowに投稿しましたが、'十分に更新されていることをお詫びします。適切だと思いました。必要に応じて、ここにリンクを示します。 そこにあなたの答えを転送するか、新しいバージョンに基づいてあなたの答えを更新します。 mathoverflow.net/questions/229675/ …
- @Thoth @ChristianClasonがアドバイスしたことに注意してください mathoverflow.netではなく、math.stackexchange.comに質問を投稿してください。 これらは、目的と対象者が異なる2つの異なるサイトです。
- @FedericoPoloniはい、私が書いたものを読んだら、Math.SEには高度すぎて、取得する可能性は低いと思いました。 そこに答えがあります。