4元速度を定義する背後にある動機に悩まされています。Schutzの最初のコース一般的な相対性、彼は $ x ^ \ mu =（ct、x、y、z）で与えられる粒子のワールドラインの各ポイントで接線ベクトルの概念を使用します）$ 。そして後で彼は
\ begin {equation} U ^ \ mu = \ frac {dx ^ \ mu} {d \ tau} \ end {equation}
すべてのオブザーバーが同意するパラメーターとして適切な時間を使用するために見つけた数学的説明ですが、代わりにこの定義でどのような問題が発生するかを理解できません。
\ begin {equation} U ^ \ mu = \ frac {dx ^ \ mu} {dt} \ end {equation}
ここで、 $ t $ は、慣性フレームSの時間の尺度です。
コメント
- 'ユークリッド空間でこの質問をしているとは思わない'。曲線$ \ vec {r}を考えてみましょう。 （\ lambda）=（x（\ lambda）、y（\ lambda）、z（\ lambda））$。次に、接線ベクトルを$ \ vec {T}（\ lambda）= d \ vec {rと書くことができます。 } / d \ lambda $。または、後者の提案に従い、$ \ vec {T}（\ lambda）= d \ vec {r} / dx $を使用することもできます。接線ベクトルは正しい方向を指しますが、長くはなりません。 rは適切に定義されており、$ x $を選択するため、定義によって座標が混ざり合うように回転することはできなくなりました。
- この本では、4元速度が定義されていることをどこかで説明していません。ローレンツの4元速度になるように、そのようにしますか？
- @ jacob1729例を挙げてください。 'このトピックとかなり混乱しています
回答
@Milanはすでにあなたの定義の技術的な問題に答えています。
概念的な問題を指摘したいと思います。 4元速度が時空を通る物体の動きを何らかの形で特徴づけることを望みます。概念的には、そのような量はその動きに直接関係する量にのみ依存する必要があることを要求することは理にかなっています。したがって、オブジェクトの動きとは関係のないランダムな観測者の時間をもたらすことは、概念的に奇妙な決定になります。この数学的エンティティは直接接続されているため、4元速度をオブジェクトの世界線への接ベクトルとして定義することは理にかなっています。もちろん、世界線のパラメータ化が必要です。これは、世界線/動き自体にとって理想的には自然であり、外部の量に依存しません。時空間では、すべてのオブジェクトに独自のクロックがあるため、この曲線は、オブジェクト自体のクロック、つまり適切な時間によって自然にパラメータ化されます。
このように、ローレンツグループについて話す必要はまったくないことに注意してください。私が最初に4速度について学んだとき、導関数で適切な時間を使用するという決定は、ローレンツ4ベクトルを作成するためのランダムな決定として私に感じました。しかし、私が説明しようとしたように、実際にはより深い幾何学的な理由があります。
コメント
- 説明したように、これらのトピックを説明する相対性理論の本をお勧めしますか？
- @Lil '重力はそれほどではありませんが、個人的に目立つ本を3冊あげることができます。 Misner、Wheeler、Thorne-重力は非常に直感的なレベルで一般相対性理論と微分幾何学を説明します-ほとんどの数学の物理的動機とともに、Wald-一般相対性理論は概念がどのように定義されているかを明確に理解するためのより正式な幾何学的アプローチのための素晴らしい本です座標系を必要とせずに抽象的に。次に、Fecko-微分幾何学と物理学者のための嘘グループがあります。これは微分幾何学に関する最高の教科書だと思います。
答え
最初の定義は4元ベクトルとして変換されます： $ \ dfrac {dx ^ {” \ mu}} {d \ tau} = \ Lambda ^ {\ mu } {} _ {\ nu} \ dfrac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau} $ 。
2番目の定義は、4元ベクトルとして完全に変換されません。 $ \ dfrac {dx ^ {“\ mu}} {dt”} = \ dfrac {dt} {dt “} \ Lambda ^ {\ mu} {} _ {\ nu} \ dfrac {dx ^ {\ nu}} {dt} $ 。
これは理にかなっています。最初の定義では、4元ベクトル（それ自体も4元に変換される）の微分を除算するからです。 -ベクトル）スカラー（ローレンツグループでは不変）。