今日、私は数学的な期待と呼ばれる新しいトピックに出くわしました。私がフォローしている本によると、期待値は任意の確率分布から得られる確率変数の算術平均です。しかし、それは期待をいくつかのデータの積とその確率の合計として定義します。これら2つ（平均と期待値）をどのように同じにすることができますか？確率とデータの合計を分布全体の平均にするにはどうすればよいですか？
回答
非公式には、確率分布は確率変数の結果の相対度数-期待値は、それらの結果の加重平均（相対度数で加重）と考えることができます。同様に、期待値は、発生する確率に正確に比例して生成された一連の数値の算術平均と考えることができます（連続確率変数の場合、これは正確に真実ではありません。特定の値の確率は$ 0 $です。
期待値と算術平均の関係は、離散確率変数を使用すると最も明確になります。ここで、期待値は
$$ E（ X）= \ sum_ {S} x P（X = x）$$
ここで、$ S $はサンプル空間です。例として、次のような離散確率変数$ X $があるとします。
$$ X = \ begin {cases} 1 & \ mbox {確率} 1/8 \\ 2 & \ mbox {確率付き} 3/8 \\ 3 & \ mbox {確率付き} 1/2 \ end {cases} $$
つまり、確率質量関数は$ P（X = 1）= 1/8 $、$ P（X = 2）= 3/8 $、および$ P（X = 3）= 1/2 $です。上記の式では、期待値は
$$ E（X）= 1 \ cdot（1/8）+ 2 \ cdot（3/8）+ 3 \ cdです。 ot（1/2）= 2.375 $$
ここで、確率質量関数に正確に比例する周波数で生成された数値を考えます。たとえば、数値のセット$ \ {1,1,2,2,2 、2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3 \} $ -2つの$ 1 $、6つの$ 2 $、8つの$ 3 $。次に、これらの数値の算術平均を取ります。
$$ \ frac {1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 +3} {16} = 2.375 $$
これは、期待値とまったく同じであることがわかります。
コメント
- 'これは、より単純な{1,2,2,2,3,3,3,3}のセットを使用することで、よりよく説明できますか？算術を示す式そのセットの平均は、その変数の期待値を示す式と同じです（加重積を単純な合計に変換する場合）。
- Re："そのセットの算術平均を示す式は、その変数の期待値を示す式と同じです（加重積を単純な合計に変換する場合）"-はい@Dancrumb、それはポイント全体：）
回答
期待値は、確率ではなく、ランダム変数の平均値または平均です。配布。それ自体は慎重です。 e確率変数確率変数がとる値の加重平均。ここで、加重は、それらの個々の値の相対的な発生頻度に応じて行われます。絶対連続確率変数の場合、値xの積分に確率密度を掛けたものです。観測されたデータは、独立した同一分布の確率変数のコレクションの値と見なすことができます。標本平均（または標本期待値）は、観測されたデータの経験分布に関するデータの期待値として定義されます。これにより、データの算術平均になります。
コメント
- +1。良いキャッチre："期待値は、確率分布ではなく確率変数の平均値または平均です"。 'この用語の微妙な誤用に気づきませんでした。
回答
定義に細心の注意を払いましょう：
平均は、数値のコレクションの合計をコレクション内の数値の数で割ったものとして定義されます。計算は「for i in1」になります。 to n、（x sub iの合計）をnで割った値。 “
期待値（EV）は、それが表す実験の繰り返しの長期平均値です。計算は「for i in 1からn、イベントx sub iの合計にその確率を掛けたもの（およびすべてのp subiの合計= 1でなければなりません）。 “
フェアダイの場合、次のことが簡単にわかります。平均とEVは同じです。平均-（1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6）/ 6-3.5とEVは次のようになります：
prob xp * x
0.167 1 0.17
0.167 2 0.33
0.167 3 0.50
0.167 4 0.67
0.167 5 0.83
0.167 6 1.00
EV = sum（p * x）= 3.50
しかし、ダイが「公平」でない場合はどうなるでしょうか。不公平なダイを作成する簡単な方法は、ドリルすることです。ああ4、5、6面の交点の角にあるオレ。さらに、新しく改良された曲がったサイコロで4、5、または6を振る確率は、現在.2であり、1、2、または3を振る確率は.133であるとしましょう。これは同じです。 6面、各面に1つの数字があり、このダイの平均は3.5のままです。ただし、このダイを何度も転がした後、イベントの確率がすべてのイベントで同じではなくなったため、EVは3.8になりました。
prob xp * x
0.133 1 0.13
0.133 2 0.27
0.133 3 0.40
0.200 4 0.80
0.200 5 1.00
0.200 6 1.20
EV = sum（p * x）= 3.80
繰り返しますが、注意して定義に戻ってから、あるものが常に別のものと「同じ」であると結論付けてください。通常のサイコロがどのように設定されているかを見て、他の7つのコーナーに穴を開け、EVがどのように変化するかを確認します。楽しんでください。
Bob_T
回答
「平均」と「期待値」の唯一の違いは、平均は主に度数分布に使用され、期待値は確率分布に使用されることです。度数分布では、サンプル空間は変数とその発生頻度で構成されます。確率分布では、サンプル空間は確率変数とその確率で構成されます。これで、サンプル空間内のすべての変数の合計確率は= 1でなければならないことがわかりました。ここに基本的な違いがあります。期待値の分母項は常に= 1です。 （つまり、合計f（xi）= 1）ただし、頻度の合計（基本的にはエントリの総数）にはそのような制限はありません。