最初に信号処理を読んでいて、第3章ex3.8で、添付の写真に示すような基本周期の例に出くわしました
信号
彼はそれをどのように行っていますか？
$$ x（t）= \ cos ^ n（ 4 \ pi t）$$ ここで、nは3、4、または5です。 
回答
三角関数は本質的に指数関数です。したがって、引数を2倍にすると、（ある意味で）関数の2乗に対応します。この場合、角度加算式を適用するとわかります。
$$ \ begin {aligned} \ cos（2 \ theta）& = \ cos（\ theta + \ theta）\\ & = \ cos（\ theta）\ cos（\ theta）-\ sin（\ theta）\ sin（\ theta）\\ & = \ cos ^ 2（\ theta）-（1- \ cos ^ 2（\ theta））\\ & = 2 \ cos ^ 2（\ theta）-1 \ end {aligned} $$
作成
$$ \ cos ^ 2（\ theta）= \ frac {\ cos（2 \ theta）+ 1} {2} $$
適用する方程式：
$$ x（t）= \ cos ^ 2（4 \ pi t）= \ frac {\ cos（8 \ pi t）+ 1 } {2} $$
これから、基本周期が0.25であることがかなり明確になります。これにより、 $ 8 \ pi t = 2 \ pi $ 。
リクエストに応じて：
$$ \ begin {aligned} x（t）& = \ cos ^ 3（4 \ pi t）\\ & = \ left（\ frac {e ^ {i 4 \ pi t} + e ^ {-i 4 \ pi t}} {2} \ right）^ 3 \\ & = \ frac {1} {8} \ left（e ^ {i 12 \ pi t} + 3 e ^ {i 4 \ pi t} + 3 e ^ {-i 4 \ pi t} + e ^ {-i 12 \ pi t} \ right）\\ & = \ frac {1} {4} \ left [\ cos（12 \ pi t）+ 3 \ cos（4 \ pi t）\ right] \\ \ end {aligned} $$
そこから理解できるはずです。四角いケースは同じ方法で処理できた可能性があることに注意してください。
この手法は、次の式に広く使用しています。
コメント
- 親切にしてください回答の最後から2番目の行を更新します。基本周波数ではなく0.25の基本周期です
- @Man Done、goodcatch。申し訳ありません。
- 更新された質問の必要性を満たすために、回答を少し更新してください。
- @Manゴールポストのシフトを終了します。 n = 3,4,5 …はパターンに従って計算できます。最終結果は$ n4 \ pi T = 2 \ pi $であり、これは$ T = 1 /（2n）$
回答
これはセマンティクスの問題のようです。
信号は、時間とともに周期的です $ T $ if
$$ x（t + n \ cdot T）= x（t）、n \ in \ mathbb {Z} $$
したがって、信号は $ 0.5 $ for $ T = 0.5 \ cdot n $ なので、余弦の引数は $ 2 \ pi $ 。 $ 0.5 $ で周期的であるため、 $ 0.5 $ のすべての整数倍でも周期的です。 $ 1 $ 、 $ 1.5 $ 、 $ 2 $ など。
この場合、 $$ \ cos ^なので、 $ 0.25 $ でも定期的です。 2（4 \ cdot \ pi \ cdot t）= 0.5 \ cdot（1+ \ cos（8 \ cdot \ pi \ cdot t））$$
したがって、周期信号には周期の数は無限で、基本的なものは最小のものであり、他のすべては基本的なものの整数倍です。
