QMスピン演算子はガンマ行列で表すことができ、私は次のことを証明する演習を行おうとしています。 $ \ gamma ^ 5 $と$ {\ mathbf {\ alpha}} $を使用するID：
$$ \ mathbf {S} = \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ mathbf {\ alpha} $$
最初の試みでは、これをDirac表現で直接実行しましたが、演習ではこれを実行できないと記載されています。誰かアドバイスできますか？これを可能にするアイデンティティやトリックはありますか？
明確にするために、$ \ alpha $は次の行列であり、ゼロ以外の要素はパウリ行列です。
$ \ alpha ^ i = \ left [{\ begin {array} {cc} 0 & {\ sigma ^ i} \\ {\ sigma ^ i} & 0 \\ \ end {array}} \ right] $
$ \ textbf {S} = \ frac {1} {2} \ Sigma $
where
$ \ Sigma = \ left [{\ begin {array} {cc} {\ sigma ^ i} & 0 \\ 0 & {\ sigma ^ i} \\ \ end {array}} \ right] = -i \ alpha_ {1} \ alpha_ {2} \ alpha_ {3} \ mathbf {\ alpha } $
コメント
- $ \ alpha $と$ {\ bf S} $は明示的に何ですか？
- アルファは先頭の対角線上にないエントリがパウリ行列であるが、それがどのように役立つかわからない行列。
- 関係するすべての記号を明確に定義せずに、アイデンティティを証明するのにどのように役立つと思いますか？
- @Hollis確かに、少なくとも$ \ alpha $が何を意味するのかを言うことができます。 'はガンマ行列のような標準的な表記法ではありません。
- $ \ mathbf {\ alpha} $は$ \ gamma $行列と同じくらい標準的です。ほとんどの標準的な物理学の本では、$ \ gamma $行列の前でも$ \ mathbf {\ alpha} $が紹介されています。
回答
私は次の定義でウィキペディアの規則に従っています$$ \ Sigma ^ {\ mu \ nu} = \ frac {i} {4} [\ gamma ^ \ mu、\ gamma ^ \ nu]、\ qquad S ^ i = \ frac {1} {2} \ epsilon ^ {ijk} \ Sigma ^ {jk}、\ qquad \ alpha ^ i = \ gamma ^ 0 \ gamma ^ i、\ qquad \ gamma ^ 5 = i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3。$$ここで$$ \ {\ gamma ^ \ mu、\ gamma ^ \ nu \} = 2 \ eta ^ {\ mu \ nu}、\ qquad \ eta ^ {\ mu \ nu} = \ text {diag}（1、-1、-1、-1）。$$これを言ったので、$$ S ^ i = \ frac {i} {に注意してください。 4} \ epsilon ^ {ijk} \ gamma ^ j \ gamma ^ k $$明示的に、$$ S ^ 1 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3、\ qquad S ^ 2 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 1、\ qquad S ^ 3 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 $$次に、$$ \ frac {1} { 2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 1 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 = S ^ 1、\\ \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 2 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 2 =-\ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 3 = S ^ 2、\\ \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 3 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 3 =-\ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 = S ^ 3、\\ $$したがって、$$ S ^ i = \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ i。 $$