ここに「確率の質問（おそらく本当に単純）」があります。解決方法がわかりません：
ガンマ分布$ X \ sim \ mathcal {G}（\ alpha、\ beta）$、$ \ mu = 20 $および$ \ sigma ^ 2 = 80 $
$ P（X \ le 24）$ =？
前の質問は、$ \ alpha $と$ \ beta $の値を見つけることでした。これは、$ \ mu $ = $ \ alpha $$ \ beta $と$ \ sigma ^ 2 $ = $ \を使用して行いました。 alpha $$ \ beta ^ 2 $。
ガンマ分布累積分布関数の場合、私の教科書には$ P（X \ le x）= F（x; \ alpha、\ beta）= F（x / \ beta; \ alpha、1）$と書かれています。 $ F（x / \ beta; \ alpha、1）$は、標準のガンマ分布累積分布関数です$$ F（x; \ alpha、1）= \ frac {1} {\ Gamma（\ alpha）} \ int_0 ^ x { y ^ {\ alpha-1} e ^ {-y}} \ text {d} y $$
それを統合するには、連鎖律を使用する必要があるように見えますが、教授は使用しませんでした例。ショートカット方法はありますか？ 「実際の例では統合を使用したことはありません。PDFを定義し、さまざまなディストリビューションの累積分布関数を取得するためだけです。
編集
私の例標準的なガンマ分布の問題を含む教科書には、付録の表A.4で$ F（x; \ alpha）$の値を調べるように書かれています。私が見たところ、表A.4が欠落していたため、本当にがっかりしました。印刷して課題を提出できるオンラインの標準ガンマ分布表？Wolfram Alphaを確認しましたが、ありませんでした。カシオには何かがありますが、形状とスケールのパラメータが何であるかわかりません。
編集2
そのテーブルを見つけました。本の冒頭で、テーブルA.5はA.3の直後にあるので、A.4が欠落していると思いました。図書館に行ってそれらがないか確認しました。同じ教科書を持っていました;彼らはそうしました、そして誰かが本の後ろを見るという常識（私が持っていなかった）を持っていました、そしてそれはありました。これ以上のヘルプは必要ありません。
コメント
- パーツごとに統合 繰り返しする必要があります$ u = y ^ {\ alpha-1} $および$ v = -e ^ {-y} $、$ dv = e ^ {-y} dy $、および$$ \ int u dv = uv- \で始まるint v du。$$これを行うたびに、$ y $の指数が小さい整数が得られます。 $ \ alpha $が整数の場合、プロセスを終了できます。 $ \ alpha $が整数でない場合、状況はより複雑になります。
- @dilipコメントを回答として投稿する必要があります。
- @DilipSarwate、のクローズドフォームソリューションはありません。 $ \ alpha $非整数、このcdfは不完全ガンマ関数です。
- そして部分積分が目的であったことを強く疑っています。
- wolframalpha.com/input/?i=CDF[GammaDistribution[5%2C+4]%2C+24]
回答
確率論で示唆されているように、私のコメントは回答に変換されます。
$ u = y ^ {\ alphaで始まる部分積分 を繰り返しする必要があります-1} $、$ v = -e ^ {-y} $、$ \ mathrm dv = e ^ {-y} \ mathrm dy $、および$$ \ int_0 ^ xu \ \ mathrm dv = uv \ biggr |を使用_0 ^ x − \ int_0 ^ xv \ \ mathrmdu。$$$ \ mathrm du =（\ alpha-1）y ^ {\ alpha-2} \ mathrm dy $なので、部分積分を行うたびに、より小さなeで積分を取得します右側の$ y $のxponent。 $ \ alpha $が整数の場合（この特定の場合のように）、$ \ int_0 ^ x e ^ {-y} \ mathrm dy $でプロセスを終了できます。 $ \ alpha $が整数でない場合、$ \ int_0 ^ xy ^ {\ gamma} e ^ {-y} \ mathrm dy $の一般的な閉形式の式がないため、状況はさらに複雑になります。ここで、$ 0 < \ gamma < 1 $。 Xi “anが指摘しているように、累積分布関数は不完全ガンマ関数であり、その数値が表になっています。
部分積分がない場合、提案されているようにこの演習のポイントです。 Elvisのコメントでは、教授がガンマ確率変数の値をポアソンランダムプロセスの到着時間として考えて、その観点から問題を解決することを望んでいるかどうかを確認することをお勧めします。
コメント
- xとalphaのさまざまな値のオンラインテーブルはありますか？私の教科書には、標準正規曲線とt分布の表しかありません。 1つを探しましたが、代わりにカイ2乗テーブルが多すぎます
- 'オンラインテーブルを知りませんが、MATLABが値を計算します、そして私はRまたはMathematicaまたはWolframAlphaまたはMapleまたは…などが同じことをするだろうと思います。