誤差関数と標準正規分布関数はどのように関連していますか？

これは一部のシステムで頻繁に発生するためです（たとえば、 Mathematica は通常のCDFを$ \ text {Erf} $で表現することを主張していますが、関係を文書化するこのようなスレッドがあると便利です。

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の定義により、エラー関数は

$$ \ text {Erf}（x）= \ frac {2} { \ sqrt {\ pi}} \ int_0 ^ xe ^ {-t ^ 2} \ mathrm {d} t。$$

$ t ^ 2 = z ^ 2/2 $と書くと、$ t = z / \ sqrt {2} $（$ t $が負ではないため）、ここで$ \ mathrm {d} t = \ mathrm {d} z / \ sqrt {2} $。エンドポイント$ t = 0 $および$ t = x $は$ z = 0 $および$ z = x \ sqrt {2} $になります。結果の積分を累積分布関数（CDF）のように見えるものに変換するには、次のような積分で表す必要があります。 $-\ infty $の下限、つまり：

$$ \ text {Erf}（x）= \ frac {2} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int_0 ^ {x \ sqrt {2}} e ^ {-z ^ 2/2} \ mathrm {d} z = 2 \ left（\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {-\ infty} ^ {x \ sqrt {2}} e ^ {-z ^ 2/2} \ m athrm {d} z- \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {-\ infty} ^ 0 e ^ {-z ^ 2/2} \ mathrm {d} z \ right）。$ $

右側のサイズの整数は、どちらも標準正規分布のCDFの値です。

$$ \ Phi（x）= \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {-\ infty} ^ xe ^ {-z ^ 2/2} \ mathrm {d} z。$$

具体的には、

$ $ \ text {Erf}（x）= 2（\ Phi（x \ sqrt {2}）-\ Phi（0））= 2 \ left（\ Phi（x \ sqrt {2}）-\ frac {1} {2} \ right）= 2 \ Phi（x \ sqrt {2}）-1。$$

これは、正規CDFの観点から誤差関数を表現する方法を示しています。これを代数的に操作すると、エラー関数の観点から正規CDFが簡単に得られます。

$$ \ Phi（x）= \ frac {1 + \ text {Erf}（x / \ sqrt {2}） } {2}。$$

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この関係（とにかく実数の場合）は、2つの関数のプロットに示されています。グラフは同一の曲線です。左側の誤差関数の座標は、$ x $座標に$ \ sqrt {2} $を掛け、$ 1 $を$ y $座標に加算することにより、右側の$ \ Phi $の座標に変換されます。 $ y $座標を$ 2 $で除算し、関係を反映します

$$ \ Phi（x \ sqrt {2}）= \ frac {\ text {Erf}（x）+ 1} {2} $$

この表記は、乗算、加算、除算の3つの演算を明示的に示しています。

コメント

• $$ \ Phi（x、\ mu、\ sigma）だと思います= \ frac {1} {2} \ left（1+ \ text {Erf} \ left（\ frac {x- \ mu} {\ sigma \ sqrt {2}} \ right）\ right）$$が正しい平均と標準偏差を考慮して、それらを関連付ける方法。