波動方程式の最も一般的な形式は何ですか？ $ \ frac {\ partial ^ 2 \ Psi} {\ partial t ^ 2} -v ^ 2 \ nabla ^ 2 \ Psi = 0 $ですか？
たとえば、$ \ frac {\ partial ^ 2 \ Psi} {\ partial t ^ 2} -v ^ 2 \ nabla ^ 2 \ Psi = cte $は波動方程式ですか？はいの場合、その場合の解決策は何ですか。
回答
$ cte $の意味がわかりません。 、しかし私はそれが一定であると仮定していますが、私は誤解しているかもしれません
私たちはしばしば同次と不均一の2つのクラスの微分方程式について話します。この区別はあなたの質問の根源です、\ begin {equation } \ frac {1} {v ^ 2}（\ partial_t）^ 2 f（\ vec {r}、t）-\ nabla ^ 2 f（\ vec {r}、t）= 0 \ end {equation}は波動方程式の同次形式であるのに対し、\ begin {equation} \ frac {1} {v ^ 2}（\ partial_t）^ 2 f（\ vec {r}、t）-\ nabla ^ 2 f（\ vec { r}、t）= u（\ vec {r}、t）\ end {equation}は不均一な波動方程式です（必要に応じて$ u（\ vec {r}、t）$も一定にすることができます）。これは発生します。一例として、電荷と電流が存在する場合の電磁放射は不均一な波動方程式によって支配され、均一な形式は$ \ rho = 0 $と$ \ vec {J} = 0 $の場合にのみ有効です。あなたが誰に尋ねるかにもよるが、私はほとんどの人がまだインホムを言うだろうと思う均一波動方程式は波動方程式ですが、それは「それ自体の好み次第です」という解決策は、均質なものとは非常に異なる性質を持つことになります。
一般的に、私が言えることはあまりありません。これらのソリューションについては、「$ u $の形式に大きく依存しますが、グーグルを使用すると多くの例が得られると思います。
コメント
- 完璧。そして、減衰波動方程式はどうですか？その形式は何ですか？
回答
メイソンは、不均一微分方程式と同次微分方程式の区別を処理しました。波動方程式の最も一般的な可能な形式について言えば、それは次のとおりです。
$$ \ square \ phi ^ {i_1 \ dots i_m} _ {j_1 \ dots j_n}（x）= f ^ { i_1 \ dots i_m} _ {j_1 \ dots j_n}（x）$$
ここで、両方のフィールドはランク$（m、n）$テンソルであり、ラプラス-ベルトラミ演算子$ \ square = \ nabla ^ a \ nabla_a $テンソルに対する作用は、メトリックとそのランクの両方に依存します。メトリックが$ \ eta _ {\ mu \ nu} $のスカラー場の場合、波動方程式の最もよく知られている形式である$（\ partial ^ 2_t- \ nabla ^ 2）\ phi = f $になります。 （上記は微分形式の言語で書き直すこともできます。）
ただし、これはすべての可能性を網羅しているわけではありません。たとえば、一般相対性理論では、メトリックの摂動$ h_ {ab} $の場合、曲率の1次変化は次のようになります。
$$ \ delta R_ {ab} \ propto \ Delta_L h_ { ab} = \ square h_ {ab} -2 \ nabla _ {（a} \ nabla ^ c \ bar {h} _ {b）c} -2 R_ {d（a} h ^ d_ {b）} +2 R_ {acbd} h ^ {cd} $$
これは確かに波動解を認めますが、含まれているため上記の波動方程式と明らかに同等ではないため、文献では曲率空間の「波動演算子」として理解されています。曲率テンソルを含む他の用語。したがって、波動方程式の「最も一般的な形式」は、厳密に$（\ partial ^ 2_t- \ nabla ^ 2）\ phi = f $でない限り、実際に書き留めることができるものではありません。
