簡単に言えば、ゲージ不変性とは何ですか？

物理学者が「ゲージの自由」について話すときに意味を理解するのが非常に難しい理由は、私が使用したのを見た少なくとも4つの同等でない定義があるからです。 ：

• 定義1：2つの異なる数式がまったく同じ物理システムを記述するという意味で、数学の自由度の一部が「冗長」である場合、数学的理論にはゲージ自由があります。 。その場合、冗長な（または「ゲージに依存する」）自由度は、原則としてさえ、可能な実験でそれらの値を一意に決定できないという意味で「非物理的」です。有名な例の1つは、量子状態の全体的な位相です。これは完全に測定不可能であり、全体的な位相だけが異なるヒルベルト空間の2つのベクトルは、まったく同じ状態を表します。別の例は、あなたが述べたように、必要なあらゆる種類のポテンシャルです。物理量（たとえば、潜在的なエネルギー関数）を生成するために微分されます（ただし、温度などの他の例のいくつかは、ゼロ温度の明確な物理的感覚があるため、ゲージに依存する量の例ではありません）。

  ゲージの自由度を持つ数学構造によって記述される物理システムの場合、特定の物理構成を数学的に定義する最良の方法は、ゲージの自由度のみが異なるゲージ依存関数の等価クラスとしてです。たとえば、量子力学では、物理状態は実際にはヒルベルト空間の単一のベクトルではなく、全体的なスカラーmulによって異なるベクトルの等価クラスによって記述されます。転倒。または、もっと簡単に言えば、ヒルベルト空間のベクトルの行によって。 （空想を得たい場合、物理状態の空間は「射影ヒルベルト空間」と呼ばれます。これはヒルベルト空間の線のセットであり、より正確には、ベクトルが比例している場合に識別されるヒルベルト空間のバージョンです。相互に。）「物理的ポテンシャルエネルギー」は、実際には一種のやり過ぎですが、加法定数のみが異なるポテンシャルエネルギー関数のセットとして定義することもできると思います。これらの等価クラスは、構造によってゲージの自由度を取り除きます。 「ゲージ不変」も同様です。

  場合によっては（常にではありませんが）、すべての物理的な自由度を維持しながら、すべての冗長な自由度を削除する単純な数学演算があります。たとえば、位置エネルギーが与えられると、勾配をとって力場を生成することができます。これは直接測定可能です。また、古典的なE & Mの場合、ポテンシャルを直接測定可能な$ {\ bf E} $と$ {\ bfB}に減らす偏導関数の特定の線形結合があります。物理情報を失うことなく$フィールド。ただし、量子ヒルベルト空間のベクトルの場合、他に何も失うことなく位相の自由度を削除する単純な微分演算はありません。

• 定義2：同じ定義1と同じですが、冗長な自由度がローカルであるという追加の要件があります。これは、任意のスムーズに依存するある種の数学演算が存在することを意味します。物理的な自由度（つまり、物理的に測定可能な量）を不変のままにする時空間上の関数$ \ lambda（x）$。もちろん、標準的な例は、任意の滑らかな関数$ \ lambda（ x）$、次に$ \ partial_ \ mu \ lambda（x）$を電磁4ポテンシャル$ A_ \ mu（x）$に追加すると、物理量（$ {\ bf E} $と$ {\ bf B } $フィールド）は変更されません。（フィールド理論では、「物理的自由度」が変更されないという要件は、ラグランジュ密度$ \ mathcal {L} [\ varphi（x）] $が変更されないことを要求すると表現されます。 、ただし他の定式化も可能です。）この定義は明らかにはるかに厳密です。上記の定義1の例は、この定義には含まれません。物理学者が「ゲージ自由」について話す時間のほとんどは これが彼らの意味する定義です。この場合、（位置エネルギーの全体的な定数のように）冗長で非物理的な自由度がいくつかある代わりに、連続的に無限の数になります。 （さらに混乱させるために、定義1の意味で「グローバルゲージ対称性」というフレーズを使用して、量子状態のグローバル位相自由などを説明する人もいます。これは、定義の意味では明らかに矛盾します。 2。）

  場の量子論でこれに対処するには、量子化へのアプローチを大幅に変更する必要があることがわかりました（技術的には、「経路積分をゲージ固定する」必要があります）。すべての非物理的な自由度を排除します。この定義の下で「ゲージ不変」量について話すとき、実際には、通常、電磁テンソル$ F _ {\ mu \ nu} $のように、ゲージ変換の下で変化しない（「不変」）直接物理的に測定可能な導関数を意味します。 。しかし、技術的には、他のゲージ不変量もあります。特定の$ A_ \ mu（x）。$

  より数学的な観点からのこの2番目のゲージ対称性の優れた説明については、 TerryTaoのブログ投稿を参照してください。

• 定義3：自由度が変更されても、時空の任意の連続関数に依存して不変のままになる操作が存在する場合、ラグランジアンは「ゲージ対称性」を持っていると言われることがあります物理的に測定可能です。

• 定義4：ローカル格子ハミルトニアンで定義された「格子ゲージ理論」の場合、通勤する各格子サイトでサポートされる演算子が存在します。ハミルトニアンを使用します。場合によっては、この演算子は物理的に測定可能な量に対応します。

定義3と4の場合は概念的に少し微妙なので、ここでは説明しません。ここでそれらに-私はフォローでそれらに対処することができます-誰かが興味を持っているかどうかの質問。

更新：フォローアップの回答を書きましたハミルトニアンの場合とラグランジュの場合。

コメント

• すばらしい答えです！これは、これまでに出会った中で最高の外植の1つです!!!! ：D
• ＃3と＃4の間の微妙な点についてフォローアップの質問をしました
• physics.stackexchange.com/q/ 267175/122066
• @ user122066フォローアップへのリンクについては、回答の最後にある更新を参照してください。

これを理解したのは、一般相対性理論（GR）、微分幾何学、場の量子論（QFT）のクラスを受講した後です。本質は、導関数に反映する必要がある座標系の変更にすぎません。私が何を意味するのかを説明します。

ある対称群の下で不変の理論があります。したがって、量子電気力学では、フェルミ粒子のラグランジアン密度があります（まだ光子はありません）$$ \ mathcal L = \ bar \ psi（x）[\ mathrm i \ gamma ^ \ mu \ partial_ \ mu –m] \ psi（x）\、。$$この$ \ bar \ psi $は$ \ psi ^ \ dagger \ gamma ^ 0 $、重要なのはそれが複雑に共役しているということです。それがスピン空間の4元ベクトルであるという事実は、ここでは問題ではありません。今できることは、$ \ psi \を\ exp（\ mathrm i \ alpha）\ psi $に$ \ alpha \ in \ mathbb R $で変換することです。次に、$ \ bar \ psi \ to \ bar \ psi \ exp（-\ mathrm i \ alpha）$と、導関数は指数関数に作用しないため、ラグランジアンは不変になります。これは単なる位相因子です。そこにグローバルな対称性があります。

対称性をローカルなものに昇格させてみませんか？グローバルな$ \ alpha $の代わりに、$ \ alpha（x）$が追加されました。これは、時空の各ポイントで異なる$ \ alpha $を選択することを意味します。問題は、今変換するときに、微分のチェーンと積の法則で$ \ partial_ \ mu \ alpha（x）$を取得することです。これは、最初は技術的な複雑さのように思えます。

これを確認するためのよりわかりやすい方法があります。
フィールド$ \ psi（x）$の派生物を取得します。これは、$$ \ partial_ \ mu \ psi（x）= \ lim _ {\ epsilon \ to 0} \ frac {\ psi（x + \ epsilon \ vec e_ \ mu）-\ psi（x）のような差分商を取ることを意味します} {\ epsilon} \、。$$これはグローバル変換で問題なく機能します。ただし、ローカル変換では、基本的に、異なる方法で測定された2つの値を減算します。 微分幾何学では、多様体の異なる点での接空間が異なるため、ベクトルをその成分で比較することはできません。 並列トランスポートを提供するには、接続係数を使用した接続が必要です。こちらも同様です。 U（1）ゲージグループがあるため、$ \ phi $を$ \ mathbb R ^ 4 $での生活からバンドル$ \ mathbb R ^ 4 \ times S ^ 1 $での生活に昇格させました。したがって、変換された$ \ phi $を$ x + \ epsilon \ vec e_ \ mu $から$ x $に転送するには、何らかの接続が必要です。ここで、$$ \ partial_ \ mu \ to \ mathrm D_ \ mu：= \ partial_ \ mu + \ mathrm i A_ \ mu \、。$$

Ifという接続を導入する必要があります。それをラグランジュ密度に接続して$$ \ mathcal L = \ bar \ psi（x）[\ mathrm i \ gamma ^ \ mu \ mathrm D_ \ mu –m] \ psi（x）$$にし、 $ A_ \ mu = \ partial_ \ mu \ alpha $接続係数は製品/連鎖律から不要な項を差し引くだけなので、局所変換の下でもラグランジアン密度は不変のままであることがわかります。

一般的な相対性では、任意の微分同相写像の下で対称性があります。代償として、導関数を接続に変更する必要があります。$$ \ partial \ to \ nabla：= \ partial + \ Gamma + \ cdots \、。$$

数学のバックグラウンドから来ているとおっしゃっていたので、同値類の観点から回答をとるとよいでしょう。

ゲージ理論は物理理論であり、完全な測定機器が与えられた実験で測定できるもののように、観測可能な量はベクトル空間の等価クラスです。

電磁気は最も一般的な例。現代物理学の理論は常にファイバーバンドルとして記述されており、基礎となる多様体は時空であり、ファイバーは時空の各点（イベントと呼ばれる）に関連付けられた接空間です。自由空間（無料）のE & Mは、$ A _ {\ mu} $と呼ばれる4つのコンポーネントオブジェクトを各時空点$ x $に関連付け、$を要求することによって記述されます。 A _ {\ mu}（x）$は、マクスウェルの方程式を満たします。

ただし、自然界で観測可能で等しく測定可能な量は、電界と磁界、$ \ vec {E}（x）です。 $および$ \ vec {B}（x）$。これらは、この wiki で指定された定義を使用して$ A _ {\ mu}（x）$から導出されます。 （$ F _ {\ mu \ nu}（x）$の行列要素を見てください。）

変換$ A _ {\ mu}（x）\ rightarrow A _ {\ mu}であることがわかります。 （x）+ \ partial _ {\ mu} f（x）$は、2回微分可能な関数$ f（x）$に対して、観測可能なフィールド$ \ vec {E}（x）$と$ \ vec {Bの同じ値を与えます。 }（x）$。したがって、等価関係があります

$ A _ {\ mu}（x）\ approx A _ {\ mu}（x）+ \ partial _ {\ mu} f（x）$ 。

そして一般に、ゲージ理論は、観測可能な量がベクトル空間内のいくつかのベクトルの等価クラスの関数である理論です。この場合、私たちのベクトルは$ A _ {\ mu}（x）$であり（これらは時空で2回微分可能な関数の関数空間内のベクトルです）、私たちの等価関係は上に与えられました。

あなたの最終についてシステムの総エネルギーが任意の参照フレームで一定の係数までしか決定されないかどうかについての質問は、ニュートンダイナミクスをゲージ理論にします。答えはノーです、そうではありません。基本的に、あなたが「場の理論について話していなければ」、物理学者はそれをゲージ理論とは呼びません。

コメント

• 正解ですが、ゲージ理論のオブザーバブルは、次の同値類のセットの関数であると言った方が正確かもしれません。 [接続やバンドルセクションのようなもの] modゲージの同等性。ゲージ理論のフラストレーションは、接続とセクションに関数を与える以外に、これらの関数を記述できる多くのケースを’知らないことです。
• あなたは正しいです、私の言語は少しずさんです。 “オブザーバブルはいくつかのベクトル空間の同値類の関数です。”

ゲージ不変性は、物理システムの記述における単なる冗長性です。つまりE & Mの無限の数のベクトルポテンシャルから選択できます。

たとえば、無限の数のベクトルポテンシャルは、以下の変換によって電磁気学を表すことができます

$$ A（x）\ to A_ \ mu（x）+ \ partial_ \ mu \ alpha（x）$$

特定のゲージを選択すると（ゲージ固定）、解くことができますゲージを修正しなかった場合よりもはるかに簡単な物理的問題。

通常、クーロンゲージを選択します：$ \ nabla \ cdot A = 0 $。

必要があります。ゲージ不変性は自然の対称性ではなく、それに関連するものを測定することはできないことを強調してください。

ゲージ不変性は場の量子論で最も有用であり、再正規化可能性を証明するために重要です。さらに、QFTのS行列要素は局所的なラグランジアンを必要とし、したがってゲージ不変性を必要とします。

ベクトルポテンシャル$ A ^ \ mu $を導入する理由の例として、次の理由で発生するアハラノフボーム効果を考えます。ベクトルポテンシャルのグローバルなトポロジー特性。ゲージ不変性が人生を楽にし、いわゆる共変量または$ R_ \ xi $ゲージの光子の自由度、因果関係などを減らす理由は他にもあります。本質的に、ゲージ不変性の有用性は、試してみるまで完全には明らかになりません。場の量子論を通して働くこと。 ：D

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• @ user122066今後の参考のために、シンボルを検索する必要がある場合は、このtex.SEの質問。ただし、MathJaxでは特定の（La）TeXコマンドのみがサポートされています。リストについては、 MathJaxドキュメントを参照してください。
• すべてのMathJaxリファレンスについては、次を確認してください： MathJaxの基本的なチュートリアルとクイックリファレンス
• @ user122066：次のように書いています：” これは、現代物理学の非常に重要な特性であり、 “ここでは誇張していると思いますが、これがそのようなフレーズを”にしている理由です。恐ろしい”。 “ゲージ理論”のみを使用する必要があるという証拠はありません。他のアプローチは未踏です。
• @VladimirKalitvianskiは十分に公平です。ゲージを回避するS行列に関連する漸化式がありますが、ゲージ不変性よりも計算を容易にする何かが発見されることを想像するのは非常に困難です。’あなたは絶対に正しいです。この部分を削除します
• （TeXシンボルルックアップにも役立ちます- Detexify 。）

これらの計算は、具体的な値自体ではなく、2つの値の差のみに依存することがよくあります。 。したがって、好みに応じてゼロを自由に選択できます。これは、上記の卒業生の例と同じ意味でのゲージ不変性の例ですか？

はい、確かに、ゲージ不変性の最も一般的な定義では、これは、物理学者がグローバルゲージ不変性と呼んでいるものです。これについては以下で詳しく説明します。

タイトルに対して1文の答えを書かなければならない場合、次のようになります。

ゲージ不変性は、物理システムの構成/パラメーター空間/座標を物理的に同等な構成の同等クラスのセットに凝縮する引用マップの下での物理法則の明確な定義です。

これは、たとえば、コセット積がグループの通常のサブグループを指数化するマップの下で明確に定義されているのと同じ意味です。構成の物理学は、等価クラスメンバーの選択とは無関係です。

最も簡単に言えば、ゲージ不変性は、物理システムの数学的記述に冗長性があるという単なる主張です。言い換えると、システムには対称性があります。これは、変換のグループに関する不変性です。

グローバルゲージ対称性は、構成空間が存在する場所です。は、2つの値の違いの例のように、物理的に異なる同値類と冗長パラメータのセットの単純な直積（すなわち些細なファイバーバンドル）です。物理的記述がラグランジュ記述である場合、ここでネーターの定理が前面に出て、そのような冗長パラメーターごとに1つずつ保存量を識別します。ゲージグループ、つまり対称性のグループ は、すべての同値類（ファイバー）に等しく影響します。静電ポテンシャルから定電位を引くことは、そのような対称性であり、カラスが高圧送電線に座り、そよ風を一緒に楽しく撃ち、ゲージ理論に関する最新の考えを議論し、次のように宣言することで、CorvidCivilizationにとって大きな進歩です。もう二度と！」静電ポテンシャルへの22kVのグローバルな追加が、私たちが属するシステムの物理学を変える可能性があることを恐れますか。

しかし、通常、物理学者がゲージ理論について話すとき、それらは対称群が作用できるものを意味しますより一般的な方法では、構成スペースの各ポイントで異なるグループメンバーが動作します。対応するファイバーバンドルはもはや簡単ではありません。電気力学よりも簡単な例が必要でしたが、それはないと思います。電子の波動関数に追加される位相は、座標の滑らかな関数であり、ライプニッツの法則から生じる追加の項は、波動関数の運動方程式（Dirac、Schrödinger）は、EMポテンシャル1形式の閉じた部分に正確に吸収されます。ちなみに、余談ですが、私は常にフーリエ空間でのEMポテンシャルを視覚化するのが好きです。これは、合理的な制限で行うことができます（たとえば、緩和された分布についてのみ考えるという仮定 ）。 、4つのポテンシャルの冗長部分の空間部分は、波数ベクトルに沿ったその成分であり（つまり 3ベクトルと見なされます）、波数ベクトルに垂直な成分のみが物理的に重要であるためです。 $ A \ mapsto \ mathrm {d} A = F $を生き残る唯一の部分です。

EMの例から取るべき2つのことがあります。

1. 実際にはかなり複雑になりますが、概念的には、単純なグローバルゲージ対称の例からのほんの少しのジャンプです。すべての構成空間ポイントに作用するのではなく、対称が局所的に作用することを許可します。同様に;

2. 実験的に現実的な電磁気からリードを取り、このゲージの不変性はmであると仮定します。より一般的に関連する可能性があるため、他の物理現象におけるその存在を調べます。これは、予感によって動機付けられた行為にすぎません。 実験的に、これは実り多いことであることがわかりました。物理学では、実験結果ほど深い洞察はありません。

最後に、ゲージ/ファイバーバンドルの概念は、問題のニーズに基づいて構成の同値類を人為的に宣言するときにも役立つことを述べておきます。 、同値類のメンバー間に物理的な違いがある場合でも。この考え方の最も美しい例の1つは、モンゴメリーの「ネコひねりのゲージ理論」です。私たちは同等のモジュロである猫の構成の同値類を研究しています。 猫の形の空間を定式化するための適切なユークリッドアイソメトリ。これは、猫がねじれのないボールとソケットのジョイントを備えた2セクションロボットと見なされる標準的な処理では、実際の射影平面$ \ mathbb {RP} ^ 2 $。この場合、構成空間全体は、形状空間$ \ mathbb {RP} ^ 2 $をベースとし、グループ$ SO（3）$が方向をファイバーとして定義するファイバーバンドルになります。 。猫は、角運動量の保存によって暗示される平行輸送の概念から生じる接続の湾曲により、猫自身の形状の周期的変形を使用して角運動量を保存しながら反転することができます。

これが私が考えることができるゲージ対称性の最も基本的な例です。

tが必要だとしますoメビウスの帯を歩き回っているアリについて話し合います。アリの位置を説明するには、バンドをその幅に沿って切断して長方形にすることを想像すると便利です。次に、次の3つのことを教えて、アリがどこにいるかを教えてください。

• 彼女の緯度-長方形の幅に沿った彼女の位置。
• 彼女の経度-長方形の長さに沿った彼女の位置。
• 彼女の向き-彼女が長方形の上面または下面にしがみついているかどうか。

経度の意味は、その架空のカット。カットを移動すると、すべてのアリの経度が変化します。「バンドの形状を変更したり、アリに影響を与えたりすることなく、バンドをその長さに沿ってスライドできるため、あるカットを別のカットよりも優先する物理的な理由はありません」。つまり、バンドには平行移動不変があるため、物理的に意味のある絶対経度の概念はありません。

同様に、方向の意味は、サーフェスにラベルを付ける方法によって異なります。長方形の上部と下部として。「バンドの形状を変えたり、アリに影響を与えたりすることなく、バンドの2つの表面を交換できるため、あるラベルを別のラベルよりも優先する物理的な理由はありません」。その交換は、ゲージ対称性の例です。通常の対称性では共有されないいくつかの顕著な特徴があります。そのうちの1つを見てみましょう。

状況の対称性ごとに、状況のいくつかの側面があります。それは複数の方法で説明することができ、それらの間で選択するための物理的な根拠はありません。ただし、選択が物理的に無意味であっても、選択を行ってそれに固執することが役立つ場合があります。たとえば、地球の表面を航行している人々についての議論では、私が知っているほとんどすべての人が、ロンドンのグリニッジを通過するカットを使用して経度を定義しています。これは主に、の人々そこに住んでいた人が世界を乗っ取り、たくさんの海図を印刷しました。

普通の円筒形のバンドでアリウォッチングをしていたら、向きの概念に落ち着くことができたでしょう。同じように簡単に。バンドの片側を「上」にターコイズ、反対側を「下」に青く塗ると、それができます。メビウスの帯では、片側しかないため、事態はさらに複雑になります。一方の表面をターコイズに、もう一方の表面を青にペイントしようとすると、バンドの小さな領域から外側に向かって、ターコイズとブルーの領域が必然的に衝突します（以前の説明では、衝突は経度カットに沿って隠されていました）。

並進対称のような通常の対称性のある状況では、物理的に意味のある方法で可能な説明から選択することはできません。ゲージの対称性のある状況では、グローバルに一貫した方法で可能な説明から選択することができます！ただし、スペースの小さな領域で一貫した説明をいつでも選択できます。そのため、ゲージ対称性はしばしばローカル対称性と呼ばれます。

ゲージ対称性とは何かについての長い基本的な説明を試みたので、私も提供したいと思います。短くて洗練されたもの。最も単純な物理モデルでは、イベントは space または spacetime と呼ばれる滑らかな多様体で発生します。通常の対称性は、イベントの物理的な可能性を保持する時空の微分同相写像です。より洗練されたモデルでは、イベントは時空にわたってファイバーバンドルで発生します。ゲージの対称性は、イベントの物理的な可能性を保持するファイバーバンドルの自己同型です。

基本的な例では、メビウスの帯が空間の役割を果たし、アリはバンド内を歩き回っています。配向束。配向束には、バンドの2つの表面を交換する自己同型があります。

古典的な電磁気学では、メビウスの時空または他のローレンツ多様体が時空の役割を果たし、電場は次のように表されます。 カルザ-クラインの写真では、帯電した粒子が円束内を動き回り、時空間で「影」を持つ直線を飛んでいます。円の束には、円の繊維を回転させる自己同型のファミリーがあります。これは、派手な人々が$ \ operatorname {U}（1）$ゲージ対称と呼んでいます。この画像一般化すべての古典的なヤンミル理論に。

In一般相対性理論のパラティニ画像、滑らかな$ 4 $次元多様体が時空の役割を果たし、重力場は$ \ operatorname {SO}で表されます。マニホールドのフレームバンドルの（3,1）$接続。あなたが言及した線形重力のゲージ対称性は、フレーム束の自己同型であると思われます。

アインシュタインの一般相対性理論の図では、対称性は時空の微分同相写像です。私はこれらを通常の対称性として分類します。ただし、tparker が述べたように、すべての人が「ゲージ対称性」という用語を同じように使用しているわけではありません。

コメント

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• @WetS avannaAnimalakaRodVance、私は’投票数について心配しません。この回答の恩恵を受ける可能性のある人に会った場合は、直接リンクすることができます。参考までに、投票で並べ替えられた回答リストの一番下でも一番上でも同様に機能します。

$ U（1）$対称性の場合、ゲージ不変性の非常に興味深い物理的解釈があります。ゲージ対称性は、物質（広義には任意のスピンの場）と光子（ヘリシティ1の質量のない粒子）のローレンツ不変相互作用を取得する唯一の方法であり、$ \ frac {1} {r ^ {として減少します。 2}} $遠距離で（このステートメントはクーロンの法則に他なりません）。簡単に言えば、EM相互作用の逆二乗法則を提供する4ポテンシャル$ A _ {\ mu} $はローレンツ共変ではなく、相互作用のローレンツ不変性の発現は電荷局所保存につながります。

本当に、時空の対称性に基づく非常に一般的な考察から、光子は EM強度テンソル。これは、形式的にはローレンツ共変であり（テンソルインデックスを使用した素朴な操作を使用）、構造によって（ヘリシティ1の粒子を表すフィールドとして）、つまり、行列$ \ Lambda _ {\ mu} ^ {\ \ nu} $で与えられるローレンツ変換は、$$ F _ {\ mu \ nu} \ to \ Lambda _ {\ mu} ^ {\ \ alpha} \ Lambda _ {\として変換されます。 nu} ^ {\ \ beta} F _ {\ alpha \ beta} $$次に、物質フィールド$ \ psi $があり、物質と光子の相互作用について議論するとします。このような相互作用を得る最も明白な方法は、可能なすべての畳み込みを構築する$ F _ {\ mu \ nu} $と物質フィールドおよびローレント共変オブジェクト（Dirac行列、Levi-Civita接続など）の組み合わせ。また、実験から、相互作用が遠距離で$ \ frac {1} {r ^ {2}} $として低下することがわかっているとします。残念ながら、$ F _ {\ mu \ nu} $を使用する場合、これは不可能です。正式な理由は、相互作用の法則を示すこのフィールドのプロパゲーターが$ \ frac {1} {r ^ {2}} $よりも速く落ちるためです。これは、$ F _ {\ mu \ nu} $の2つのインデックスと反対称が原因です。

ヒントを作成し、 4-potential ：$$ F _ {\ mu \ nu} = \ partial _ {\ mu} A _ {\ nu}-\ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} $$インタラクションは、$ A_ {の畳み込みによって構築されるようになりました。 \ mu} $と物質フィールドおよびその他の共変オブジェクト。

もちろん、$ A _ {\ mu} $は$ F _ {\ mu \ nu} $と同様に質量のないヘリシティ1粒子を表す必要があります。残念ながら、この要件は、4ポテンシャルがローレンツ共変ではないというステートメントにつながります（もちろん、正式にはそうですが）。正確には、ローレンツ変換フィールド$ A _ {\ mu} $は、ヘリシティ1の質量のない粒子を表すと想定され、$$ \ tag 1 A _ {\ mu} \ to \ Lambda _ {\ mu} ^ {\ \ nu} A _ {\ nu} + \ partial _ {\ mu} \ varphi $$ローレンツ共変ではないことがわかります。$ A _ {\ mu} $の無料ラグランジュは、$$ L =-\ frac {です。 1} {4} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu}、$$はローレンツ不変です。

しかし、相互作用のローレンツ不変性を維持する方法は1つあります。変換$ A _ {\ mu} \ to A _ {\ mu} + \ partial _ {\ mu} \ varphi $の下で不変になるように、それらを構築します。正確には、相互作用の振幅$ M _ {\ mu_ {1} .. .. \ mu_ {n}}（p_ {i}、\ epsilon_ {j}（k_ {j}））$、ここで$ \ epsilon $は光子ヘリシティ（分極）ベクトル、$ p_ {i} $はすべて相互作用の勢いです粒子と$ k_ {j} $は光子の運動量である）、bでなければならないe変換中の不変量$$ \ tag 2 \ epsilon _ {\ mu}（p）\ to \ epsilon _ {\ mu}（p）+ \ alpha p _ {\ mu} $$形式言語では、次のように示されます。ソフトフォトン（運動量がほぼゼロのフォトン）の放出でプロセスを処理することは、これは、物質結合の保存則がなければならないことを意味します$ g_ {i} $：$$ g_ {1} + g_ {2} + … = \ text {const} $$これは電荷保存の法則に他なりません。 $（2）$とともに、これは$ U（1）$ゲージ対称性に他なりません。

したがって、逆二乗法則による光子と物質の相互作用のローレンツ不変性がゲージ不変性につながることがわかります。同様に、重力子がすべての場と相互作用する場合の等価原理を議論することができます。

ゲージ理論は、小さく対称的な余分な次元を持つ空間

無限の円柱（線と小さな円の直接の積）から始めます。シリンダーはねじることができます。私が説明しようとしている概念に訴えるのを避けるために、私はシリンダーがワイヤーメッシュでできていると言います：それの長さを走るワイヤーにはんだ付けされた等間隔の円。長いワイヤーは1つの単位として回転し、隣接する円の各ペア間に角度のねじれを導入します。そのような構成は、他の構成に継続的に変形できることは明らかです。そのようなシリンダーはすべて、それらを這うことわざのアリの観点からは同等です。

製品がトーラスになるように、線を閉ループに置き換えます（そして、そのように小さな円の平面を変えると、技術的には類推が壊れますが、トーラスをメッシュドーナツと考えてください）。ドーナツ全体に足りない部分は、他のドーナツと同じ部分に変形できますが、ドーナツの周りの正味のねじれを変更できないため、ドーナツ全体が変形できない場合があります。同等のドーナツのクラスは、本質的に非局所的なこの正味のねじれによって完全に特徴付けられます。

ループ（小さな円ではない）を2次元以上の多様体に置き換えます。明らかではありませんが、接続の物理的な部分は、すべての閉ループ（ウィルソンループ）の周りの統合されたねじれによって完全に与えられることは事実です。

$ A $と$ F $は接続性を定量化します

離散的な場合、接続は隣接する円の間にねじれを与えることで最も簡単に記述できます。連続体の制限では、これは次のようになります。各円での「ねじれ勾配」。これは、いわゆるベクトルポテンシャルである$ A_ \ mu $です。

任意の連続変形は、各円の量を表すスカラーフィールド$ \ phi $で記述できます。はねじれています（以前の場所と比較して）。これにより、$ \ phi $の勾配によって$ A_ \ mu $が変更されますが、物理的な量は変更されません（ループ積分）。

の説明ウィルソンループの用語、$ \ oint_ \ gamma A \ cdot \、\ mathrm dx $は、物理的に意味のある量しか含まれていないため、よりエレガントですが、非局所的で非常に冗長です。スペースが単純に接続されている場合は、回避できます。 rより大きなループをそれらから構築できるため、微分ループの周りにのみツイストを指定することによる冗長性と非局所性。いわゆるフィールドテンソル$ \ partial_ \ nu A_ \ mu- \ partial_ \ mu A_ \ nu = F _ {\ mu \ nu} $は、まさにそれを与えます。

（スペースが単連結ではなく、基本群の生成セットの各要素に対して差動ループと1つのネットツイストを使用して回避できます。トーラスはもちろんでした。この簡単な例です。）

力はアハラノフボーム効果から発生します

空間全体に定義されたスカラー場を考えます（以前の場とは異なり、これは値を取ります）各円の各点で）。ある点から発散して別の場所に再収束する2つの狭いビームを除いて、フィールドはどこでもゼロです。 （多分それらは「鏡によって反射されます;多分空間は正に湾曲しています;それは問題ではありません。）

フィールドが円全体で一定でない限り、ビームの干渉挙動は違いに依存します2つのパスに沿ってねじれています。この違いは、パスによって形成される閉ループの周りの積分にすぎません。

これは（一般化された）アハラノフボーム効果です。異なるパスに制限し、$ F _ {\ mu \ nu} $を使用して干渉への影響を計算すると、電磁力の法則が得られます。

フィールドをフーリエ成分に分解できます。フーリエスペクトルは、小さな次元では離散的です。ゼロ次（一定）高調波は、ねじれの影響を受けません。 2次高調波は1次高調波の2倍の影響を受けます。これらは電荷です。

実際には、理由は不明ですが、特定の次元外の高調波のみが存在しているようです。最初の高調波のみが存在する場合、大きな次元の各ポイントでの単一の複素振幅+位相としてのフィールドの同等の記述があります。位相は、ベクトルポテンシャルによっても使用される任意のローカルゼロポイントを基準にしています。位相を近くの点の位相と比較し、それらの間に$ \ mathrm d \ theta $のベクトルポテンシャルのねじれがある場合、フィールド値を$ i \、\ mathrm d \ theta $で調整する必要があります。 。これがゲージ共変微分の起源です。

円は他の形状に一般化されます

2球の円の場合、$ \ mathrm {SU}（2）$ゲージ理論が得られます。数値的には厄介です。対称群は非可換であるため、Lie代数の機構を導入する必要があります。ただし、幾何学的には何もありません。接続性は、ループの周りの正味のねじれによってまだ説明されています。

1つの不幸な違いは、電荷の説明が次元外の調和であるということです。 csはもう完全には機能しません。球面調和関数は整数-スピン表現のみを提供し、すべての既知の粒子は標準モデル$ \ mathrm {SU}（2）$のスピン0またはスピン1/2表現にあるため、$の影響を受ける粒子は\ mathrm {SU}（2）$ forceは、このように説明することはできません。よりエキゾチックなタイプのフィールドでこの問題を回避する方法があるかもしれません。

SMゲージグループ全体を $ \ mathrm {Spin}（10）$ 、そして私は、$ \ mathrm {SU}（3）$の形状よりも9球を視覚化する方が簡単だと思います。対称性。

一般相対性理論は類似しています

一般相対性理論では、リーマン曲率テンソルは場テンソルに類似しています。これは、微分ループの周りを移動するベクトルの角回転を表します。アハロノフ-ボーム効果は、宇宙ストリングの周りの角欠損に類似しています。カルザ-クライン理論もともとは、5次元の一般相対性理論から電磁気を取得する特定の方法を指していましたが、現在では、標準模型のゲージ力と一般相対性理論が同じものの異なる側面である可能性が高いという幅広い考えを指すことがよくあります。

古典電磁気学（CED）では、ゲージ不変性は、電位$ \ varphi $および$ \ bf {A} $の特定の「選択」からの電場および磁場の独立性を意味します。もちろん、ポテンシャルの方程式は「ゲージ」の特定の選択に依存し、ゲージごとに異なる解を与えます。

QMおよびQEDでは、ゲージ不変性は方程式の形式（解はまだ異なりますが、物理的に同等です）。

ただし、対応する結果が物理的に同じままである場合は、有用な変数変更も受け入れられることに注意してください。そのため、方程式の形式は「不変」である必要はありません。