GELUアクティベーションとは何ですか？

GELU関数

$ \ mathcal {N}（0、1）$ 、つまり $$ Phi（x）$ は、次のようになります： $$ \ text {GELU} （x）：= x {\ Bbb P}（X \ le x）= x \ Phi（x）= 0.5x \ left（1+ \ text {erf} \ left（\ frac {x} {\ sqrt {2 }} \ right）\ right）$$

これは定義であり、方程式（または関係）ではないことに注意してください。著者は、この提案に対していくつかの正当化を提供しています。確率論的なアナロジーですが、数学的にはこれは単なる定義です。

GELUのプロットは次のとおりです。

タン近似

これらのタイプの数値近似の場合、重要なアイデアは、（主に経験に基づいて）同様の関数を見つけ、パラメーター化してから、に適合させることです。元の関数からのポイントのセット。

$ \ text {erf}（x）$ が $ \ textに非常に近いことを知っている{tanh}（x）$

および $ \ text {erf}（\ frac {x} {\ sqrt {2}}）$ は $ \ text {tanh}（\ sqrt { \ frac {2} {\ pi}} x）$ at $ x = 0 $ 、つまり $ \ sqrt {\ frac {2} {\ pi}} $ 、 $$ \ text {tanh} \ left（\ sqrt {\ frac { 2} {\ pi}}（x + ax ^ 2 + bx ^ 3 + cx ^ 4 + dx ^ 5）\ right）$$ （またはより多くの用語を含む）から一連のポイント $ \ left（x_i、\ text {erf} \ left（\ frac {x_i} {\ sqrt {2}} \ right）\ right）$ 。

この関数を $（-1.5、1.5）$ （このサイトを使用）、係数は次のとおりです：

$ a = c = d = 0 $ 、 $ b $ は $ 0.04495641と推定されました$ 。より広い範囲からのサンプルが増えると（そのサイトでは20しか許可されません）、係数 $ b $ は紙のに近くなります。 $ 0.044715 $ 。最後に

$ \ text {GELU}（x）= x \ Phi（x）= 0.5x \ left（1 + \ text {erf} \ left（\ frac {x} {\ sqrt {2}} \ right）\ right）\ simeq 0.5x \ left（1+ \ text {tanh} \ left（\ sqrt {\ frac { 2} {\ pi}}（x + 0.044715x ^ 3）\ right）\ right）$

平均二乗誤差 $ \ sim $ x \ in [-10、10] $ の場合は10 ^ {-8} $ 。

一次導関数間の関係を利用しない場合、用語 $ \ sqrt {\ frac {2} {\ pi}} $ は次のようにパラメーターに含まれます $$ 0.5x \ left（1 + \ text {tanh} \ left（0.797885x + 0.035677x ^ 3 \ right）\ right）$$ これはあまり美しくありません（分析性が低い） 、より数値）！

パリティの利用

@BookYourLuck では、関数のパリティを利用して、検索する多項式のスペースを制限できます。つまり、 $ \ text {erf} $ は奇妙な関数であるため、つまり $ f（-x）=-f （x）$ 、および $ \ text {tanh} $ も奇数関数、多項式関数 $ $ \ text {tanh} $ 内の\ text {pol}（x）$ も奇数である必要があります（ $ x $ ）は、 $$ \ text {erf}（-x）\ simeq \ text {tanh}（\ text {pol} （-x））= \ text {tanh}（-\ text {pol}（x））=-\ text {tanh}（\ text {pol}（x））\ simeq- \ text {erf}（x） $$

以前は、幸運なことに、偶数乗の $ x ^ 2 $ との係数が（ほぼ）ゼロになりました。 $ x ^ 4 $ ただし、一般的に、これにより、たとえばのような用語を持つ、低品質の近似が発生する可能性があります。追加の条件（偶数または奇数）によってキャンセルされている$ 0.23x ^ 2 $ 単に $ 0x ^ 2 $ を選択する代わりに。

二乗近似

$ \ text {erf}（x）$ と $ 2 \ left（\ sigma（x）-\ frac {1} {2} \ right）$ （sigmoid）、これは別の近似として論文で提案されており、平均二乗誤差があります $ \ sim 10 ^ {-4} $ for $ x \ in [-10、10] $ 。

データポイントを生成し、関数を近似し、平均二乗誤差を計算するためのPythonコードは次のとおりです。

import math import numpy as np import scipy.optimize as optimize def tahn(xs, a): return [math.tanh(math.sqrt(2 / math.pi) * (x + a * x**3)) for x in xs] def sigmoid(xs, a): return [2 * (1 / (1 + math.exp(-a * x)) - 0.5) for x in xs] print_points = 0 np.random.seed(123) # xs = [-2, -1, -.9, -.7, 0.6, -.5, -.4, -.3, -0.2, -.1, 0, # .1, 0.2, .3, .4, .5, 0.6, .7, .9, 2] # xs = np.concatenate((np.arange(-1, 1, 0.2), np.arange(-4, 4, 0.8))) # xs = np.concatenate((np.arange(-2, 2, 0.5), np.arange(-8, 8, 1.6))) xs = np.arange(-10, 10, 0.001) erfs = np.array([math.erf(x/math.sqrt(2)) for x in xs]) ys = np.array([0.5 * x * (1 + math.erf(x/math.sqrt(2))) for x in xs]) # Fit tanh and sigmoid curves to erf points tanh_popt, _ = optimize.curve_fit(tahn, xs, erfs) print("Tanh fit: a=%5.5f" % tuple(tanh_popt)) sig_popt, _ = optimize.curve_fit(sigmoid, xs, erfs) print("Sigmoid fit: a=%5.5f" % tuple(sig_popt)) # curves used in https://mycurvefit.com: # 1. sinh(sqrt(2/3.141593)*(x+a*x^2+b*x^3+c*x^4+d*x^5))/cosh(sqrt(2/3.141593)*(x+a*x^2+b*x^3+c*x^4+d*x^5)) # 2. sinh(sqrt(2/3.141593)*(x+b*x^3))/cosh(sqrt(2/3.141593)*(x+b*x^3)) y_paper_tanh = np.array([0.5 * x * (1 + math.tanh(math.sqrt(2/math.pi)*(x + 0.044715 * x**3))) for x in xs]) tanh_error_paper = (np.square(ys - y_paper_tanh)).mean() y_alt_tanh = np.array([0.5 * x * (1 + math.tanh(math.sqrt(2/math.pi)*(x + tanh_popt[0] * x**3))) for x in xs]) tanh_error_alt = (np.square(ys - y_alt_tanh)).mean() # curve used in https://mycurvefit.com: # 1. 2*(1/(1+2.718281828459^(-(a*x))) - 0.5) y_paper_sigmoid = np.array([x * (1 / (1 + math.exp(-1.702 * x))) for x in xs]) sigmoid_error_paper = (np.square(ys - y_paper_sigmoid)).mean() y_alt_sigmoid = np.array([x * (1 / (1 + math.exp(-sig_popt[0] * x))) for x in xs]) sigmoid_error_alt = (np.square(ys - y_alt_sigmoid)).mean() print("Paper tanh error:", tanh_error_paper) print("Alternative tanh error:", tanh_error_alt) print("Paper sigmoid error:", sigmoid_error_paper) print("Alternative sigmoid error:", sigmoid_error_alt) if print_points == 1: print(len(xs)) for x, erf in zip(xs, erfs): print(x, erf) 

出力：

Tanh fit: a=0.04485 Sigmoid fit: a=1.70099 Paper tanh error: 2.4329173471294176e-08 Alternative tanh error: 2.698034519269613e-08 Paper sigmoid error: 5.6479106346814546e-05 Alternative sigmoid error: 5.704246564663601e-05 

コメント

• なぜ近似が必要なのですか？ ' erf関数を使用できませんか？

最初に、 $$ \ Phi（x）= \ frac12 \ mathrm {erfc} \ left（-\ frac {x} {\ sqrt {2}} \ right）= \であることに注意してください。 $$のパリティによるfrac12 \ left（1 + \ mathrm {erf} \ left（\ frac {x} {\ sqrt2} \ right）\ right）$$ mathrm {erf} $ 。 $$ \ mathrm {erf} \ left（\ frac x {\ sqrt2} \ right）\ approx \ tanh \ left（\ sqrt {\ frac2 \ pi} \ left（x + ax ^ 3 \ right）\ right）$$ for $ a \ upperx 0.044715 $ 。

$ x $ の値が大きい場合、両方の関数は $ [-1、1 ] $ 。小さい $ x $ の場合、それぞれのテイラー級数は $$ \ tanh（x）= x- \ frac {x ^ 3} {3} + o（x ^ 3）$$ および $$ \ mathrm {erf}（x）= \ frac {2} {\ sqrt {\ pi}} \ left（x- \ frac {x ^ 3} {3} \ right）+ o（x ^ 3）。$$ 代入すると、 $$ \ tanh \ left（\ sqrt {\ frac2 \ pi} \ left（x + ax ^ 3 \ right）\ right）= \ sqrt \ frac {2} {\ pi} \ left（x + \ left（a -\ frac {2} {3 \ pi} \ right）x ^ 3 \ right）+ o（x ^ 3）$$ および $$ \ mathrm {erf } \ left（\ frac x {\ sqrt2} \ right）= \ sqrt \ frac2 \ pi \ left（x- \ frac {x ^ 3} {6} \ right）+ o（x ^ 3）。 $$ $ x ^ 3 $ の係数を等しくすると、 $$ a \ approx 0.04553992412 $$ <が見つかります。 / span>論文の近く $ 0.044715 $ 。