警告：この回答の最初の部分は、BRSTプロシージャに関して非常に技術的なスタンスを取り、さらに有限次元の位相空間で機能します。便宜上。 BRST変換またはツールとしてのゴーストの平均的なアプリケーションでは、ゴーストの理解からはかなりかけ離れているように見える可能性があります。

ゴーストの一般的な概念

さまざまなものがあります制約されたハミルトン力学におけるゴースト、アンチゴースト、およびそれらの数の出現について議論できるレベル（これはラグランジアンレベルのゲージ理論と同じです）。そのうちの1つは、この私の答えに部分的にスケッチされており、BRST演算子はゲージリー環のコホモロジーの微分として示されています。

この回答では、ゴーストの少し異なる見方、つまり”位相空間の拡張”を見ていきます。これは、”位相空間項”でのリー環のコホモロジーアプローチの言い換えと見なすことができます：

BRST形式は、抽象レベルで、位相空間 $の制約サーフェス $ \ Sigma $ への縮小を実装しようとします。 X $ は、制約 $ G_a $ を解くことによってではなく、位相空間の適切な拡大を検索して、拡大された位相空間上の関数が段階的派生 $ \ delta $ mologyは、ゲージ不変の観測量である制約面上の関数を計算します。 ¹

拡大された位相空間は次のように取得されます。

1. 制約サーフェス上の関数 $ \ Sigma $ は、サーフェス上で消失する関数を法とするすべての位相空間関数の商によって与えられます。表面上で消えるすべての関数 $ f $ は、 $$ f = f ^ a G_a $$ によって与えられます。ここで、 $ f ^ a $ は任意の位相空間関数です。制約がある数の変数 $ P_a $ を導入し、 $ \ delta P_a = G_a $ spanを定義する場合>および、元の位相空間変数の $ \ delta z = 0 $ 、および $ \ delta $の画像は、 $ \ Sigma $ で消えるすべての関数です。 $ \ delta $ を採点するには、 $ P_a $ の次数が $ 1 $ 。 $ P_a $ の多項式としての関数の次数は、反-と呼ばれます。ゴースト番号。 ²

2. $ P_a $ は孤独であり、共役変数が必要です。これらは、拘束面上のいわゆる縦方向1-形式によって与えられます。ここで、拘束面上の縦方向のベクトル場は、ゲージ軌道に接するものです。それらの双対は、縦方向のベクトルでのみ定義される1形式です。縦方向のベクトル場が正確にゲージ変換を生成するフィールドであることは、幾何学的に直感的である必要があります（実際には真実です）（これらは、ゲージリー代数の単なる別の化身です）。したがって、基本的な縦方向の1形式 $ \ eta ^ a $ は、制約があり、アンチゴーストが存在するのと同じ数 $ P_a $ 。デュアルの定義には自然なアクション $ \ eta ^ a（P_b）= \ delta ^ a_b $ があるため、ポアソンブラケットを定義するだけでも自然です。座標が $（x ^ i、p_i、\ eta ^ a、P_a）$ の拡大された位相空間で $$ [\ eta ^ a、P_b] = \ delta ^ a_b $$ なので、ペア $（\ eta ^ a、P_a）$ は追加のペアとして機能します正規変数の。派生は、 $ \ delta（\ eta ^ a）= 0 $ によって、 $ \ eta $ に拡張されます。スパン>。この拡大された位相空間上の関数には、pan class = “math-の次数に基づいて、純粋なゴースト番号が割り当てられます。 container “> $ \ eta $ 。

拡大された位相空間で任意の関数を指定すると、 ghost number は、純粋なゴースト番号からアンチゴースト番号を引いたものです。

ゴースト番号の良いところは、特定のジェネレーターの電荷であるということです。 -演算子 ³ $$ \ mathcal {G}：= \ mathrm {i} \ eta ^ a P_a $$ によって測定されますこれは、明確なゴーストの関数に対して $$ [f、\ mathcal {G}] = \ mathrm {i} \ operatorname {gh}（f）f $$ を満たします。数。ゴースト数がゼロの状態であるということは、BRST不変であるという条件とともに、物理的な状態であるという必要十分条件であるため、ゴースト数は物理的に重要です。

ただし、この条件を取得するには、ここで、別の微分 $ \ mathrm {d} $ を $ \ delta $ に追加して、BRST微分を取得します。 “小さな摂動ivid = “の場合、 $ \ delta + \ mathrm {d} $ が与えることを示します。 322a06ad78 “>

平面上の共形場理論では、次の空間で内部積を定義する必要があります。あなたの理論の状態。ボソン弦理論では、状態の空間、つまり理論のヒルベルト空間$ \ mathcal {H} $は、Virassoro代数の表現の空間です。

$$ {\ bf Vir} \ longrightarrow \ mathcal {H} $$

複素平面でのCFTの放射状量子化では、理論のヒルベルト空間のすべての状態に、複素平面上のローカル演算子、いわゆるを関連付けることができます。 オペレーターと状態の対応。このヒルベルト空間の BPZ 内積を定義できます。最初に、漸近状態$ | 0 \ rangle $と$ \ langle0 | $を定義します。

$$ | 0 \ rangle \ iff \ text {単位元} \、\、\ hat { I} \、\、\ text {原点で} \、\、z = 0 $$ $$ \ langle0 | \ iff \ text {恒等演算子} \、\、\ hat {I} \、\、\ text {at infinity} \、\、z = \ infty $$

これら2つは次のように関連付けることができます。等角変換$ z \ longrightarrow \ widetilde {z} =-\ frac {1} {z} $。この等角変換の下で、等角次元$ h _ {\ Phi} $のフィールド$ \ Phi $のモード$ \ hat {\ alpha} _n $が次のように変換されることを示すことができます。

$$ \ hat {\ alpha} _n \ iff（-1）^ {h _ {\ Phi} + n} \ hat {\ alpha} _ {-n} $$

したがって、等角変換では、以下：

$$ \ hat {\ alpha} _n | 0 \ rangle = 0 \ iff \ langle0 | \ hat {\ alpha} _ {-n} = 0 \ tag {1} $$

これは、Virasoro代数の場合、$ L _ {-1} $、$ L_0 $、$ L_1 $、およびそれらの反正則対応物$ \ overline {L} _ {-1} $、$を意味します。 \ overline {L} _0 $と$ \ overline {L} _1 $は、$ | 0 \ rangle $と$ \ langle0 | $の両方を消滅させます。ただし、これらのモードでは、リーマン球上のグローバル等角変換のグループであるグループ$ {\ bf SL}（2、\ mathbb {C}）$が生成されます。したがって、$ | 0 \ rangle $は$ {\ bf SL}（2、\ mathbb {C}）$-不変の真空として知られています。

一方、$（1）$を使用すると、$ b _ {-1} $、$ b_0 $、および$ b_1 $も$ | 0 \ rangle $と$ \の両方を消滅させることが示されます。 langle0 | $。 $ bc $システムの交換関係は、次のことを示しています。

$$ \ {b_n、c _ {-n} \} | 0 \ rangle = | 0 \ rangle \ ne0 $$

したがって、モード$ c _ {-1} $、$ c_0 $、および$ c_1 $は、$ \ rvert0 \ rangle $と$ \ langle0 \ rvert $のいずれも消滅させません。したがって、リーマン球上の$ bc $システムの最初の非ゼロ行列要素は次のようになります。

$$ \ langle0 \ lvert c _ {-1} c_0c_1 \ rvert0 \ rangle \ ne0 $$

BPZ共役、つまり関係（1）はゴースト数に3単位違反します。 $ bc $システムの動作には次のゴースト数対称性があります。

$$ \ delta b = -i \ epsilon b \ qquad \ delta c = i \ epsilon c $$

対応する電流は次のとおりです。

$$ j_z（z）= -：b_ {zz}（z）c ^ z（z）：$$

ここで、$：\ cdots：$は通常の順序を示します。

上記のゴースト数の違反の原因は幾何学的なものです。 $ j $は、非収束整数スピンを持つキラルフェルミ粒子のフェルミ粒子電流です（$ b $と$ c $は両方とも整数スピンを持っています）。したがって、重力異常があります。

$$ \ partial_ {\ overline {z}} j_z =-\ frac {1} {2}（2 \ lambda-1）\ sqrt {g} R $$

ここで、$ \ lambda $は共形次元です$ b $の。これを統合することにより、$ g $リーマン面（閉じた弦理論の世界面）でのゴースト数違反が$ 3（g-1）$であることがわかります。 ゴースト電流の重要性は、CFTのゼロ以外のS行列要素を決定することです。