私が理解している限り、ある質量分布の重力結合エネルギーは、その重力自己ポテンシャルエネルギーの負の値です。
半径$ R $、質量$ M $、均一な密度の固体球について後者を計算しようとしました。
シェル定理（またはガウスの重力の法則）により、球の中心から$ r $の距離での場の強さは
$$ \ fracで与えられます。 {GM_ {enc}} {r ^ 2} = \ frac {G} {r ^ 2} M \ big（\ frac {r} {R} \ big）^ 3 = \ frac {GMr} {R ^ 3} $$
ここで、$ M_ {enc} = M（r / R）^ 3 $は、半径$ r $の球に囲まれた質量です。
aでの重力ポテンシャルしたがって、この分布によって作成される距離$ r $は次のようになります。
$$ V =-\ frac {GMr ^ 2} {2R ^ 3} $$
自己重力ポテンシャルエネルギーは分布内のすべての質量要素$ dm $に対する重力ポテンシャルエネルギー$ U \ cdot dm $の合計。
シェル統合を進めましょう。内側の半径$ r $、外側の半径$ r + dr $のシェルに含まれる質量は単純に
$$ dm_r = 4 \ pi r ^ 2 \ cdot dr \ cdot \ rho = 4 \ pi r ^ 2 \ cdot dr \ cdot \ frac {M} {4 \ pi R ^ 3} = \ frac {3Mr ^ 2dr} {R ^ 3} $$
の自己ポテンシャルエネルギーしたがって、球は
$$ \ int ^ {R} _ {0} V（r）dm_r = \ int ^ {R} _ {0} \ big（\ frac {-GMr ^ 2} { 2R ^ 3} \ big）\ big（\ frac {3Mr ^ 2dr} {R ^ 3} \ big）= \ frac {-3GM ^ 2} {2r ^ 6} \ int ^ {R} _ {0} r ^ 4dr =-\ frac {3GM ^ 2} {10R} $$
これは正解のちょうど半分です。
単純な間違いがないか何度も作業をチェックしましたが、$ 2 $エラーの要因の原因を特定できないようです。これにより、根本的に何かが間違っていると思います。エネルギーの計算方法を使用します。
問題はどこにありますか？
コメント
- MathJaxでは'大きなブラケットに\ bigを使用していますが、'は機能しません。代わりに一致する\ leftと\ rightを使用してください。\ Bigは修正されていますサイズですが、\ leftと\ rightは、角かっこで囲まれた内容に必要なサイズに自動的にスケーリングされます。
回答
問題は、シェルを形成する方法です—それらが前のシェルの内側から来ているのか外側から来ているのか。結合エネルギーの場合、これは、連続する各シェルを無限に順次除去するのに必要なエネルギー量を意味します。したがって、ポテンシャルは原点ではなく無限大に関して計算する必要があります。ポテンシャルの表現は、各シェルが原点から始まり、既存の質量を介して半径$ r $まで拡大することを示唆します。外部から既存のコアの周りで合体するのではなく、したがって、ポテンシャルを次のように計算します。
$ V（r）= \ int _ {\ infty} ^ r \ frac {GM_ {enc}（r）} {x ^ 2} \ dx =-\ frac { GM_ {enc}（r）} {r}。$
これで2の因数が解決されるはずです。
用語はさておき、私たちはどの大きさの概念に同意できると思いますエネルギーの意味であるため、正または負は大きな影響を与えません。上記の積分の感触をつかむために、まだ形成されているボールの重力によって引き込まれている単一の粒子を想像してみましょう（シェルではなく半径$ r $）。粒子が無限大から入ってくると、ボールの表面に当たるまで、粒子が感じるポテンシャルは通常のニュートンの重力ポテンシャルになります。追加されるシェルの質量$ dm $も、これと同じ可能性を感じます。シェルは、すべての方向から同時に入ってくる多くの小さな粒子であると考えることができます。この方法でシェルを追加するたびに、$ r \右矢印r + dr $なので、それに応じて$ M_ {enc} $が増加します。これは、積分で説明されます。 $ r $以上。これは、問題の境界$ [0、R] $の積分とは対照的です。このような積分は、質量の殻を原点から外側に「膨らませる」のに必要なエネルギー量に似ているためです。このようなプロセスでは、シェルが表面に向かって膨らむときにボールが完全に透過性である必要がありますが、この場合、剛性が不足しているため、ボール全体がすぐに再び崩壊します。
コメント
- わかりました。まず、私は実際に'どのような重力結合エネルギーかわかりません。私は自己ポテンシャルエネルギーが何であるかを知っているだけです。質量$ m_1、… m_N $のシステムの自己ポテンシャルエネルギーは、$ i j $ここで、$ U_ {i、j} = -Gm_im_j / r_ {i、j} $、$ r_ {i、j} $は質量$ m_i $と$ m_j $の間の距離です。これが私が計算しようとしたものです。
- 次に、あなたの積分は'私には意味がありません。 $ M_ {enc}（r）$は$ M_ {enc}（x）$に置き換える必要がありますか？
- ジョシュは正しいです：結合エネルギーの定義を間違えました。完全な計算については、次のWikipediaの記事を参照してください： en.m.wikipedia.org/wiki/Gravitational_binding_energy
- @LucJ。Bourhis：実際、私が計算したのは、結合エネルギーの負の値である自己重力ポテンシエルエネルギーです。上記の自己ポテンシャルエネルギー、つまり、それ自体の重力場による質量分布のエネルギーについて説明しました。
- 応答に説明を追加しました。' tここのコメントに収まります。 2つの量の本質的な違いは、互いに無限に離れた質量のすべてのビットを除去するために必要なエネルギーの量と、ボールがそれ自体に崩壊するのを防ぐために必要なエネルギーの量です。前者は（自己ポテンシャルによる）重力結合エネルギーであり、後者は関係する物質の最小剛性の尺度です。
回答
ポテンシャルの計算方法と重力結合エネルギーの計算方法に問題があります。
球の内側の重力場は半径方向内側にあり、重力$ GM_ {enc} / r ^ 2 = GMr / R ^ 3 $。球の外側の重力場は半径方向内側にあり、大きさは$ GM / r ^ 2 $です。
重力ポテンシャルは、単位質量あたりに行われる仕事であり、その質量を無限大から$ r $にします。
球の内側の半径$ r $でのポテンシャルは$$ V（r）= \ int _ {\ infty} ^ {R} \ frac {GM} {r “^ 2} \ dr” + \ int_ {R} ^ {r} \ frac {GMr “} {R ^ 3} \ dr” $$ $$ V（r）=-\ frac {GM} {R}-\ frac {GM} {2R} + \ frac {GMr} {2R ^ 3} $$ $$ V（r）= \ frac {GM} {2R ^ 3}（r ^ 2-3R ^ 3）$$
ただし、これは球の結合エネルギーを計算するために必要ではありません。重力結合エネルギーは、球の表面から 無限に質量シェルを除去するために必要なエネルギーの合計であるためです（中心に到達するまで表面から層を剥がすことを想像してください。
質量$ M “$の球の表面でのポテンシャルは$ -GM” / R “$であり、一定の密度$ \ rho = 3M “/ 4 \ pi R” ^ 3 $。したがって、$$ V（R “）=-\ frac {4 \ pi G \ rho} {3} R” ^ 2 $$であり、結合エネルギーは等しい$ V（R “）$にシェルの質量を掛けた値$ dM = 4 \ pi R “^ 2 \ rho \ dR” $、ゼロから星の最終半径までの質量シェル上で統合されます。
$$ U =-\ int_ {0} ^ {R} \ frac {4 \ pi G \ rho} {3} R “^ 2 \ 4 \ pi R” ^ 2 \ rho \ dR “$$ $$ U =-\ frac {16 \ pi ^ 2 G \ rho ^ 2 R ^ 5} {15} =-\ frac {3GM ^ 2} {5R} $$