月と火星の重力加速度

Let ” s重力による加速度がどの惑星でもどのように得られるかを確認し、これを地球や月など、好きなものに適用できます。

ニュートンの重力の法則は、質量$ m_1 $と$ m_2 $のオブジェクト間の重力は、\ begin {align} F = G \ frac {m_1m_2} {r ^ 2}、\ end {align}で与えられます。ここで、$ r $はそれらの間の距離です。重心。ここで、オブジェクト1が質量$ m_1 = M $および半径$ R $の惑星であり、オブジェクト2が惑星の表面からの高さ$ h $にある質量$ m_2 = m $のはるかに小さいオブジェクトであると仮定します。それは惑星の半径に比べて小さいです。一方、ニュートンの第2法則によると、2つのオブジェクト間の重力の大きさは\ begin {align} F = G \ frac {Mm} {（R + h）^ 2} \ end {align}になります。オブジェクト2の加速度が\ begin {align} F = ma \ end {align}を満たすことを確認します。これらの事実を組み合わせると、つまり右辺を等しく設定すると、質量$ m $が方程式から外れ、加速度が発生します。質量の物体の重力により、$ m $は\ begin {align} a = \ frac {GM} {（R + h）^ 2} = \ frac {GM} {R ^ 2} \ left（1-2 \ frac {h} {R} + \ cdots \ right）\ end {align}ここで、2番目の等式では、小さい数$ h / R $に関して答えのテイラー展開を実行しました。次数、つまりオブジェクト2が惑星の表面に近い場合の支配的な寄与は、高さに依存せず、惑星の質量と半径のみに依存する定数です。\ begin {align} a_0 = \ frac {GM } {R ^ 2} \ end {align}これはまさに、重力による加速度と呼ばれるものです。惑星の表面。 Earthに数字を接続すると、\ begin {align} a_0 ^ \ mathrm {Earth} \ upperx 9.8 \、\ mathrm {m} / \ mathrm {s} ^ 2 \ end {align} andI “が表示されます。他の惑星の数を決定するのはあなたに任せます。重力によるこの加速の重要な特性は、惑星の質量$ M $に比例してスケーリングし、半径の負の2乗のようにスケーリングすることです。惑星。

コメント

• 天体の角速度による、遠心力の影響について言及することも役立つと思います。$ $ a_c = \ frac {v ^ 2} {R} $$これのもう1つの効果は、体自体が赤道の周りで膨らみ、赤道の近くの表面半径が大きくなる（極の近くで低くなる）ことです。

地球の$ g $として定義される重力加速度定数は、地球の質量と地球からの距離によって異なります。式は$ g（r）= \ frac {GM（r）} {r ^ 2} $です（ニュートンLを参照）詳細については、万有引力のaw ）。したがって、$ g $は地球上でも一定ではありませんが、かなりゆっくりではありますが、高度に依存します。あなたが月にいる場合、月の質量$（〜10 ^ {22} kg）$は地球の質量$（〜10 ^ {24} kg）$よりも小さいので、あなたが感じる重力は$ $ g $が小さく、約$ 1.62 m / s ^ 2 $であるため、mg $ははるかに少なくなります。

また、$ g $の単位は$ m / s ^ 2 $であり、$ N / s ^ 2 $ではありません

これについて考える簡単な方法は、たとえば惑星の物体の表面での重力の加速度が、本質的に2つの量に依存することを考慮することです。物体の質量と半径です。 。

表面加速度は、体の質量とともに増加し（質量を2倍にすると、加速度を2倍にします）、半径の2乗に比例して減少します（半径を2倍にすると、加速度は4分の1になります）。

たとえば、月の半径は地球の半径の約0.273倍ですが、月の質量は地球の質量の約0.0123です。したがって、月の表面での加速度は

$ g_m = g_e（.0123）\ dfrac {1} {（。273）^ 2} \ approx \ dfrac {g_e}であると予想されます。 {6} $

そして、確かに、月の表面重力は約$ 1.62 \ frac {m} {s ^ 2} $

ですから、質量を知っていればたとえば火星の半径については、火星の表面重力を次のように決定できます。

$ g_M = g_e \ dfrac {M_M} {M_e} \ cdot \ dfrac {R ^ 2_e} {R ^ 2_M} $