$ \ mathbb {C} ^ 2 $ $$ H = \ hbar（W + \にハミルトニアンがあるとします。 sqrt2（A ^ {\ dagger} + A））$$ $ AA ^ {\ dagger} = A ^ {\ dagger} A-1 $と$ A ^ 2 = 0 $もわかっているので、$ W = A ^ {\ dagger} A $
$ H $を$ H = \ hbar \ Big（\ begin {matrix} 0 & \ sqrt2 \ \ \ sqrt2 & 1 \ end {matrix} \ Big）$
これまでのところ、$ W $の固有値を考慮すると、$ $ W | \ psi \ rangle = w | \ psi \ rangle $$これは、$ A | \ psi \ rangle $と$ A ^ {\ dagger} | \ psi \ rangle $も固有値を持つ$ W $の固有ベクトルであることを意味します。 $ 1-w $。$ A ^ 2 = 0 $を使用すると、$ w = 0 $または$ 1 $
の大部分として、演算子を行列として表現する方法が完全にはわかりません。私のコースでは波動関数表記を使用しています。より厳密に理解できるように、誰かがここで次のステップを説明していただければ幸いです。
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- 解決できますかAの場合、あなたが書いた2つの方程式から？ Aの行列値として一般的な複素数a、b、c、dを想定します。これでうまくいくと思います。
回答
@MichaelBrownが回答で指摘しているように、行列要素を取得するには、演算子を2つの状態の間に挟むだけです。したがって、ハミルトニアン$ H $の場合、行列要素は$$ H_ {ij} = \ langle i | H | j \ rangle $$
として与えられます。$ i使用する$ “は、現在の基底関数系である必要があります。状態が$ \ psi $の場合、$$ | \ psi \ rangle = \ sum_ {i} c_i | i \ rangle $$のみの場合この方法で演算子の行列要素を表現するよりも。演算子を状態自体の間に挟むと、状態の期待値になります。$$ \ langle H \ rangle = \ langle \ psi | H | \ psi \ rangle $$
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- お時間を割いていただきありがとうございます。ただし、MichaelBrownに言ったように、これをこの状況に適用するにはどうすればよいですか？私が知っているのは2つの固有ベクトルとその対応する固有値。
回答
演算子の行列要素$ O_ {ij} $は$で定義されます。 $ O_ {ij} = \ langle i | \ hat {O} | j \ rangle、$$であり、$ i $インデックスが行にラベルを付け、$ j $が列にラベルを付けるのが伝統的です。このように、行列の乗算は次のように機能します。 $$（OP）_ {ij} = \ sum_k O_ {ik} P_ {kj}、$$状態の完全なセットを挿入することで表示できます。
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- ご回答ありがとうございますが、これをこの状況に適用するにはどうすればよいですか？私が知っているのは、2つの固有ベクトルとそれに対応する固有値だけです。