ハミルトン'の原理

の第1週のメモラグランジュ力学のジョンバエズのコースは、行動原理の動機についての洞察を与えます。

最小作用は、仮想仕事の原理の延長と見なされる可能性があるという考えです。オブジェクトが平衡状態にあるとき、オブジェクト上で任意の小さな変位を作成するのにゼロの作業が必要です。 e。小さな変位ベクトルと力の内積はゼロです（この場合、力自体がゼロであるため）。

オブジェクトが加速しているときに、<に等しい「慣性力」を追加するとspan class = "math-container"> $ \、-ma \、$ の場合、オブジェクトの真の軌道からの小さな任意の時間依存の変位は、 $ \、F-ma、\、$ 真の力と慣性力が追加されました。これにより、

$$（F-ma）\ cdot \ delta q（t）= 0 $$

からそこでは、メモにあるいくつかの計算が定常作用の積分につながります。

バエズは、ハミルトンよりもダランベールについて論じていますが、どちらにしても、アイデアの起源について興味深い考察をしています。

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• 仮想仕事の原理はD 'アランベールの原理と呼ばれることに注意してください： en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_principle

下の画像からわかるように、アクション積分の変動を最小にする必要があるため、$ \ displaystyle \ frac {\ delta S} {\ delta q} $は$ 0 $である必要があります。それ以外の場合は、$ q_ {t_ {1}} $と$ q_ {t_ {2}} $の間の実際のパスではなく、少し長いパスを使用します。ただし、ご存知のように、$ \ delta S = 0 $をたどっても、別の極値になる可能性があります。

jcからのリンクをたどると、ダイナミクスの一般的な方法が見つかります。これはおそらくハミルトンの推論に関するあなたの質問に答えます。私は読んでいません

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• これは正確にハミルトンであるため、トートロジー的な答えのようです'最初に上の写真に到達するために使用される原則。
• ハミルトン'の原則を教えられ、それに到達したのかもしれません。説明としての写真ですが、写真は完全に一般的です。エンドポイントが固定された関数のバリエーションについて説明します。

私は一般的に、アクションの原理は同じ微分方程式を得る別の方法であると話しています。 -したがって、力学のレベルでは、2つは同等です。ただし、場の量子論に関しては、インスタントン効果を検討する際には、指数化された作用に対する経路積分の観点からの説明が不可欠です。したがって、最終的には、行動に関する定式化がより基本的で、より物理的に健全であることがわかります。

しかし、それでも、人々はエネルギーに対する感覚のように行動に対する「感覚」を持っていません。

initial 条件$ q（0）、（dq / dt）（0）$が最初に進められ、最小作用の原理がシーケンスとして後で定式化されました。数学的には美しくエレガントですが、最小作用の原理は、物理的に未知の将来の「境界」条件$ q（t_2）$を使用します。初期条件でのみ動作する最小作用の原理はありません。

さらに、方程式には物理的な解があります。これは古典力学ではそうですが、古典電気力学では間違っています。したがって、形式的に正しい「原理」から導き出されたとしても、方程式は物理的および数学的なレベルで間違っている可能性があります。尊重し、正しい物理方程式を定式化することは、方程式を「自動的に」取得するという「原理」に頼るよりも、物理学者にとってより基本的なタスクです。方程式を正しく定式化する責任があるのは私たち物理学者です。

CED、QED、およびQFTでは、物理学が推測され、最初は正しく実装されなかったという理由だけで、間違ったソリューションを「外出先で修復」する必要があります。

PS実際にシステムがその軌道をどのように「選択」するかを示したいと思います。$ t = 0 $で粒子の運動量が$ p（t）$の場合、次回は$ t + dt $の運動量が$になります。 p（t）+ F（t）\ cdot dt $。この増分は時間的に非常に局所的であり、現在の力の値$ F（t）$によって決定されるため、将来の「境界」条件で決定することはできません。軌道は仮想軌道から「選択」されません。力、座標、速度の瞬時値によって「描画」されます。

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• どちらのオプションも単なる数学的なものだと思います。モデルなど、これほど現実的なものはありません。システムがその軌道を選択することも、将来が最小作用の経路を決定することもありません。 QMの非局所性は、同様の疑問につながります。
• 驚くべきことに、初期条件でのみ機能する最小作用の原理があります。 prl.aps.org/abstract/PRL/v110/i17/e174301
• 無料の arXivバージョン。記事を詳しく読まないと、古典的なケルディッシュ形式のようなにおいがします。 これとこれ Phys.SEの投稿。

ニュートンの形式で行ったように初期位置と運動量を指定する代わりに、次のように質問を再定式化します。

初期位置と最終位置を指定する場合：$ \ textbf {パーティクルはどのパスをたどりますか？} $

Let” sは、次の形式、いわゆるラグランジュ形式またはハミルトンの原理によってニュートンの形式を回復できると主張します。

上の図に示されている各パスに、アクションと呼ばれる番号を割り当てます。

$$ S [\ vec {r}（t）] = \ int_ {t_1} ^ {t_2} dt \ left（\ dfrac {1} { 2} m \ dot {\ vec {r}} ^ 2-V（\ vec {r}）\ right）$$

この被積分関数の違いは運動エネルギーと位置エネルギー。

$ \ textbf {ハミルトンの原理の主張} $：粒子がたどる真の経路は次の極値です。 S.

$ \ textbf {Proof：} $

1.パスを少し変更します：

$$ \ vec {r}（t）\ rightarrow \ vec {r}（t）+ \ delta \ vec {r}（t）$$

2。パスの端点を固定します：

$$ \ delta \ vec {r}（t_1）= \ delta \ vec {r}（t_2）= 0 $$

3。アクションのバリエーションを取ります$ S $：

最後に、

$$ \ delta S = \ int_ {t_1} ^ {t_2} \ left [-m \ ddot {\ vec {r}}-\ nabla V \ right] \ cdotを取得します\ delta \ vec {r} $$

開始したパスがアクションの極値であるという条件は

$$ \ delta S = 0 $$

これは、パスに対して行うすべての変更$ \ delta \ vec {r}（t）$に当てはまるはずです。これが発生する唯一の方法は、$ [\ cdots] $の式がゼロの場合です。つまり、

$$ m \ ddot {\ vec {r}} =-\ nabla V $$

これを$ \ textbf {ニュートンの方程式} $として認識します。 アクションが極値化されることを要求することは、パスがニュートンの方程式に従うことを要求することと同じです。

詳細については、このpdf講義を読むことができます。

お役に立てば幸いです。

コメント

• 粒子が球上を移動するように拘束されているのを見ると、パスにたどり着きます。 1つは最大または最小です。 粒子は最小作用の経路をたどると思いますが、数式δS= 0はあいまいな答えを与えますが、この答えの特定の部分には最小作用の経路が含まれています。 アルフケンとウェーバーを見ることができます。