位相遅延と群遅延の違いは何ですか？

まず、定義が異なります。

• 位相遅延:(負の）位相を周波数で割った値
• 群遅延:(の負）の1次導関数位相と周波数

つまり意味：

• 位相遅延：周波数のこのポイントでの位相角
• 群遅延：周波数のこのポイント周辺の位相の変化率。

どちらをいつ使用するかは、実際にはアプリケーションによって異なります。群遅延の古典的なアプリケーションは、AMラジオなどの変調正弦波です。変調信号がシステムを通過するのにかかる時間は、位相遅延ではなく群遅延によって与えられます。別のオーディオの例としては、キックドラムがあります。これは主に変調された正弦波であるため、キックドラムがどれだけ遅延するか（そして時間内に不鮮明になる可能性があるか）を判断する場合は、群遅延がそれを確認する方法です。

コメント

• “周波数のこの時点での絶対位相” ‘単に”フェーズ”と呼ばれるのではないでしょうか？
• “相対ivと比較して”絶対”を意味しましたid = “b74cf93a65”>

両方とも測定しません正弦波がどれだけ遅延するか。位相遅延はそれを正確に測定します。群遅延はもう少し複雑です。たとえば、ガウス波に正弦波を掛けてフェードインおよびフェードアウトするように振幅エンベロープが適用された短い正弦波を想像してください。 。このエンベロープには形状があり、特に、その「パケット」の中心を表すピークがあります。群遅延は、その振幅エンベロープがどれだけ遅延するか、特にそのパケットのピークがどれだけ遅延するかを示します。

群遅延の定義に戻って、これについて考えるのが好きです。それは位相の導関数です。導関数は、その時点での位相応答の線形化を提供します。言い換えると、ある周波数では、群遅延は、隣接する周波数の位相応答がそのポイントでの位相応答にどのように関連しているかをおおよそ示しています。ここで、振幅変調された正弦波をどのように使用しているかを思い出してください。振幅変調は正弦波のピークを取り、隣接する周波数に側波帯を導入します。したがって、ある意味で、群遅延は、その搬送波周波数に対して側波帯がどのように遅延するかについての情報を提供し、その遅延を適用すると、何らかの方法で振幅エンベロープの形状が変化します。

クレイジーなこと？因果的フィルターは、負の群遅延を持つ可能性があります。ガウス分布に正弦波を掛けたものを取ります。その信号を送信すると、入力の前にエンベロープのピークが出力に表示されるようにアナログ回路を構築できます。フィルターが表示されるため、逆説のように見えます。将来を見据える必要があります。それは間違いなく奇妙ですが、それについて考える方法は、エンベロープが非常に予測可能な形状であるため、フィルターには、何が起こるかを予測するのに十分な情報がすでにあるということです。信号の途中にスパイクが挿入された場合、フィルターはそれを予測しません。ここに「これに関する本当に興味深い記事があります： http://www.dsprelated.com/showarticle/54.php

コメント

• ” picture a … “と言うと、実際の画像が非常に役立ちますここにあります。

それでも違いを理解できない人のために、簡単な例を示します

入力に振幅エンベロープ $ a（t）$ を使用した単純な準正弦波信号を使用して長い伝送ラインを使用します

$$ x（t）= a（t）\ cdot \ sin（\ omega t）$$

送信時にこの信号を測定する場合行末、 $ y（t）$ 、次のようになります：

$$ \ begin {align} y（t）& = a（t- \ tau_g）\ cdot \ sin（\ omega t + \ phi）\\ & = a（t- \ tau_g）\ cdot \ sin \ big（\ omega（t- \ tau_ \ ph i）\ big）\\ \ end {align} $$

ここで、 $$ phi $ は、入力から出力。

正弦波のフェーズにかかる時間を知りたい場合は、 $ \ sin（\ omega t）$ 入力から出力への送信、次に $ \ tau_ \ phi =-\ tfrac {\ phi} {\ omega} $ は数秒で答えます。

どのくらいの時間が必要な場合は、エンベロープ、 $ a（t）$ 、入力から出力への正弦波伝送、次に $ \ tau_g =-\ tfrac {d \、\ phi} {d \、\ omega} $ は、秒単位の答えです。

位相遅延は、単一周波数の移動時間であり、群遅延は複数の周波数の配列が適用された場合の振幅歪みの測定値です。

これはかなり良いことです古い質問ですが、私はインターネット上で群遅延と位相遅延の式の導出を探していました。そのような派生物はネット上にあまり存在しないので、私が見つけたものを共有したいと思いました。また、この回答は直感的なものというより数学的な説明であることに注意してください。直感的な説明については、上記の回答を参照してください。行く：

信号を考えてみましょう

$$ x（t）= a（t）\ cos（\ omega_0 t） $$

これをLTIに渡します周波数応答のあるシステム

$$ H（j \ omega）= e ^ {j \ phi（\ omega）} $$

システムがゲインではなく入力信号の位相をどのように変化させるかを分析することに関心があるため、システムのゲインは1であると見なしました。ここで、時間領域での乗算が周波数領域での畳み込みに対応する場合、入力信号のフーリエ変換は次の式で与えられます。

$$ X（j \ omega） = {1 \ over 2 \ pi} A（j \ omega）\ cdot \ big（\ pi \ delta（\ omega- \ omega_0）+ \ pi \ delta（\ omega + \ omega_0）\ big）$$

これは

$$ X（j \ omega）= {A（j（\ omega- \ omega_0））に相当します+ A（j（\ omega + \ omega_0））\ over 2} $$

したがって、システムの出力には、

$$ B（j \ omega）= {e ^ {j \ phi（\ omega）} \ over 2} \ big（A（j（\ omega- \ omega_0））+ A（ j（\ omega + \ omega_0））\ big）$$

ここで、上記の式の逆フーリエ変換を見つけるには、 $ \ phi（\ omega）$ 。したがって、問題を単純化するために、 $ a（t）$ の周波数コンテンツには、キャリア周波数 $ \ omega_0 $ 。このシナリオでは、信号 $ x（t）$ は、振幅変調信号と見なすことができます。ここで、 $ a（t ）$ は、高周波コサイン信号のエンベロープを表します。周波数領域では、 $ B（j \ omega）$ に、 $ \ omega_0 $を中心とする2つの狭い周波数帯域が含まれるようになりました。 および $-\ omega_0 $ （上記の式を参照）。これは、 $ \ phi（\ omega）$ に1次のテイラー級数展開を使用できることを意味します。

$$ \ begin {align} \ phi（\ omega）& = \ phi（\ omega_0）+ \ frac {d \ phi} {d \ omega}（\ omega_0）（\ omega- \ omega_0）\\ & = \ alpha + \ beta \ omega \\ \ end {align} $$

where $$ \ begin {align} \ alpha & = \ phi（\ omega_0）-\ omega_0 \ frac {d \ phi} {d \ omega}（\ omega_0）\\ \ beta & = \ frac {d \ phi} {d \ omega}（\ omega_0）\\ \ end {align} $ $

これを差し込むと、 $ B（j \ omega）$ の前半の逆フーリエ変換を計算できます。 as

$$ \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \ frac {1} {2} A（j（\ omega- \ omega_0））e ^ {j（\ omega t + \ alpha + \ beta \ omega）} d \ omega $$

$ \ omega- \ omega_0 $ for $$ omega “$ 、これは

$$ \ frac {1} {2 \ pi}になります\ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \ frac {1} {2} X（j（\ omega “））e ^ {j（（\ omega” + \ omega_0）（t + \ beta）+ \ alpha）} d \ omega “$$

これは

$$ a（t + \ beta）\に簡略化されますfrac {e ^ {j（\ omega_0 t + \ omega_0 \ beta + \ alpha）}} {2} $$

$ \ alpha $ と $ \ beta $ の場合、これは

$ $ a（t + \ beta）\ frac {e ^ {j（\ omega_0 t + \ phi（\ omega_0））}} {2} $$

同様に残りの半分 $ B（j \ omega）$ の逆フーリエ変換は、 $ \ omega_0 $ を置き換えることで取得できます。 $-\ omega_0 $ による。実際の信号の場合、 $ \ phi（\ omega）$ は奇妙な関数であることに注意してください。これは、

$$ a（t + \ beta）\ frac {e ^ {-j（\ omega_0 t + \ phi（\ omega_0））}} {2} $$

したがって、 、2つを足し合わせると、 $$ b（t）= x（t + \ frac {d \ phi} {d \ omega}（\ omega_0））\ cos（\ omega_0（t + \ tfrac {\ phi（\ omega_0）} {\ omega_0}））$$

エンベロープの遅延に注意してください $ a（t）$ とキャリアコサイン信号。群遅延 $（\ tau_g）$ はエンベロープの遅延に対応し、位相遅延 $（\ tau_p）$ は、キャリアの遅延に対応します。したがって、

$$ \ tau_g =-\ frac {d \ phi} {d \ omega}（\ omega_0）$$ $$ \ tau_p =-\ frac {\ phi（\ omega_0）} {\ omega_0} $$

フィルターの位相遅延は、各周波数成分がフィルターを通過する際に受ける時間遅延の量です（信号が複数の周波数で構成されている場合）。

群delayは、周波数の各コンポーネントで発生する複合信号の平均時間遅延です。