6 각형 폐쇄 패킹 (hcp) 단위 셀에는 ABAB 유형의 패킹이 있습니다. 패킹 비율을 계산하려면 단위 셀의 부피가 필요합니다.
hcp 격자의 부피 = (기본 영역) $ \ cdot $ (단위 셀의 높이)
각 육각형에는 변이 있습니다 = $ 2 \ cdot r $
기준 면적 = $ 6 $ (육각형을 이루는 작은 정삼각형의 면적)
$$ = 6 \ cdot \ frac {\ sqrt {3}} {4} \ times (2r) ^ 2 $$ $$ = 6 \ cdot \ sqrt {3} \ cdot r ^ 2 $$
따라서 볼륨 $ = 6 \ cdot \ sqrt {3} \ cdot r ^ 2 $ (높이 단위 세포)
이것은 내가 갇힌 지점입니다. 단위 셀의 높이는 어떻게 알 수 있나요?
교과서에서 검색 한 결과 $ = 4r \ cdot \ sqrt {\ frac {2} {3}} $라는 것을 알았습니다. 그 이유를 설명해 주시겠습니까?
답변
hcp와 ccp의 유사점을 사용하여 시도해 보겠습니다. 여기서 $ hcp $와 $ ccp $는 $ hcp $가 ABAB 유형이고 $ ccp $가 ABCABC 유형이라는 사실을 제외하고는 유사한 격자를 가지고 있음을 알고 있습니다. 따라서 우리는 또한 그들의 패킹 비율 $ (\ phi) $가 동일하고 $$ \ phi = \ frac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} $$라는 것을 알고 있습니다. 이제 언급했듯이 hcp 격자의 볼륨 $ = 6 \ sqrt {3} r ^ 2h $. hcp에는 총 6 개의 원자가 있습니다. 따라서 $$ \ frac {6 \ left (\ frac {4} {3} \ right) \ pi r ^ 3} {6 \ sqrt {3} r ^ 2 h} = \ frac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} $$이를 단순화하여 hcp 격자의 높이를 얻습니다. $$ h = 4r \ left (\ sqrt {\ frac {2} {3}} \ right) $$
댓글
- 높이 등에서 부피를 평가 한 후 패킹 비율이 동일하다는 것을 알 수 있습니다. 답은 거꾸로 작동합니다.
답변
단위 셀의 높이를 계산하려면 사면체 보이드를 고려하세요. 육각형 폐쇄 패킹 배열로. 3 개의 솔리드 구가 서로 닿고 중심점에 또 다른 구가 겹쳐있는 것으로 상상할 수 있습니다. 대화 형 버전은 이 사이트 에서 볼 수 있습니다. 상황은 다음과 같습니다.
이 네 구의 중심을 합치면 “사면체가됩니다. 이것은 기본적으로 삼각형 밑면을 가진 피라미드”입니다. 저는 4 면체의 각 가장자리 가 $ a $와 같다고 가정합니다.
이제 정변 밑 ($ \)을 가진 피라미드 ($ ABCD $)가 있습니다. 델타 BCD $), 가장 높은 지점 ($ A $)에서 중심 ($ G $) 삼각형베이스까지 수직선을 떨어 뜨리고 싶습니다. “나를 올바르게 따르고있는 경우”다음과 같은 그림이 표시됩니다.
필요한 모든 것 이제 $ AG $ 길이를 계산합니다.이를 위해 $ \ Delta AGD $의 피타고라스 정리를 사용하면됩니다.
$$ \ begin {align *} AD ^ 2 & = AG ^ 2 + GD ^ 2 \ tag {1} \ end {align *} $$
$ AD = a $는 알고 있지만 $ GD $ 측면은 그대로 유지됩니다. 알 수 없지만 계산하기 쉽습니다. 포인트 $ G $는 $ \ Delta BCD $의 중심입니다. 따라서 $ GD $ 길이는 $ a / \ sqrt {3} $와 같습니다. 첫 번째 방정식의 값을 연결하면 $ AG = a \ sqrt {\ frac {2} {3}} $가됩니다. 그러나 이것은 단위 셀 높이의 절반 입니다. 따라서 필요한 높이는 $ 2a \ sqrt {\ frac {2} {3}} $입니다.
Answer
6 각형으로 가장 가깝게 포장 된 구조에서 $ a = b = 2r $ 및 $ c = 4 \ sqrt {\ frac23} r $ , 여기서 $ r $ 는 원자의 원자 반경입니다. 단위 셀의 측면은 밑면에 수직이므로 $ \ alpha = \ beta = 90 ^ \ circ $ 입니다.
가장 가까운 경우 포장 된 구조, 단위 셀의 바닥 모서리에있는 원자가 접촉하므로 $ a = b = 2 r $ . 계산하기 더 어려운 단위 셀의 높이 ( $ c $ )는 $ c = 2a \ sqrt입니다. {\ frac23} r = 4 \ sqrt {\ frac23} r $ .
육각형 밑변의 가장자리는 $ a $
육각형의 높이는 같게합니다. $ h $
구의 반경은 $ r $
와 같습니다.
첫 번째 레이어의 중심 구는 두 번째 레이어 B의 빈 공간 바로 위에 있습니다.
중심 구와 두 번째 레이어 B의 구가 서로 연결됩니다.
그러므로 $ \ Delta PQR $ ( 정삼각형) :
$ \ overline {PR} = 2r $ , Draw $ QS $ 점에서 접선
$$ ∴ \ text {In} \ Delta QRS \ text {:} \ angle QRS = 30 ^ \ circ, \ overline {SR} = r $$
$$ \ cos30 ^ \ circ = \ frac {\ overline {SR}} {\ overline { QR}} $$
$$ \ overline {QR} = \ frac {r} {\ frac {\ sqrt {3}} { 2}} = \ frac {2r} {\ sqrt 3} $$
$$ ∴ \ overline {PQ} = \ sqrt {\ overline {PR} ^ 2-\ overline {QR} ^ 2} = \ sqrt {4r ^ 2-\ frac {4r ^ 2} {3}} $$
$$ h_1 = \ sqrt {\ frac {8r ^ 2} {3}} = 2 \ sqrt \ frac {2} {3} r $$
$$ ∴ h = 2h_1 = 4 \ sqrt {\ frac23} r $$
따라서 hcp arr의 패킹 효율성 계산 angement, 단위 셀의 높이는 $ 4r \ sqrt {\ frac {2} {3}} $ 로 간주됩니다.
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