연속 랜덤 변수의 예상 값을 계산하는 방법을 배우고 싶습니다. 예상 값은 $$ E [X] = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} xf (x) \ mathrm {d} x $$이며 $ f (x) $는 확률 밀도 함수입니다. $ X $의.
$ X $의 확률 밀도 함수가 $$ f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {\ frac {-라고 가정합니다. x ^ {2}} {2}} $$는 표준 정규 분포의 밀도입니다.
그래서 먼저 PDF를 연결하고 $$ E [X] = \ int_ { -\ infty} ^ {\ infty} x \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {\ frac {-x ^ {2}} {2}} \ mathrm {d} x $$ 다소 지저분한 방정식입니다. 상수 $ \ displaystyle \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} $는 적분 외부로 이동할 수 있으며 $$ E [X] = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \를 제공합니다. int _ {-\ infty} ^ {\ infty} xe ^ {\ frac {-x ^ {2}} {2}} \ mathrm {d} x. $$
여기에 갇혀 있습니다. 적분을 어떻게 계산합니까? 지금까지 올바르게하고 있습니까? 예상 값을 얻는 가장 간단한 방법이 있습니까?
댓글
- 질문 제목이 잘못되었습니다. 실제로 표준 정규 랜덤 변수의 예상 값을 계산하려고합니다. RV 함수의 기대 값을 계산할 수도 있습니다. 차라리 제목으로 " 표준 정규 분포의 예상 값을 계산하는 방법. " 또는 " 연속 랜덤 변수의 예상 값을 계산하는 방법. "
- @Gu ð mundurEinarsson이 수정되었습니다.
- " 여기에 갇혀 있습니다. 적분은 어떻게 계산하나요? " $ -e ^ {-\ frac {x ^ 2} {2}} $의 미분을 찾습니다. (아니요, 나는 우스꽝스럽지 않고 당신에게 불필요한 바쁜 일을 제안하는 것이 아닙니다. 나는 치명적입니다. 그냥하세요!). 그런 다음 찾은 파생물을 매우 세 심하게 응시합니다.
답변
거의 완료되었습니다. 단계 :
$$ E [X] = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} xe ^ {\ displaystyle \ frac { -x ^ {2}} {2}} \ mathrm {d} x \\ =-\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} e ^ { -x ^ 2 / 2} d (-\ frac {x ^ 2} {2}) \\ =-\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {-x ^ 2 / 2} \ mid _ {-\ infty} ^ {\ infty} \\ = 0 $$.
또는 $ xe ^ {-x ^ 2 / 2} $가 이상한 함수이고 적분의 한계는 대칭입니다.
댓글
- 대칭 인수는 양쪽 반이 모두 수렴하는 경우에만 작동합니다.
- 두 번째 행에서 어떤 일이 발생하는지 설명해 주시겠습니까?
- Glen '의 설명이 수렴하지 않으면 올바른 경우 변수 변경이 작동하지 않습니다.
- 두 번째 행은 첫 번째 행과 같습니다. $ d (-\ frac {x ^ 2} {2}) =-xdx $도 시작 부분에 음수 부호를 표시하기 때문입니다. 그런 다음 통합을위한 변수의 변경을 생각할 수 있으며 한계가 변경되지 않았으므로 다시 변경합니다. 또는 부품 별 통합을 사용할 수 있습니다. 그리고 $ \ int_ {a} ^ {b} e ^ y dy = e ^ y \ mid_ {a} ^ {b} $
- 평균을 얻기 위해 대칭을 사용하려면 $ \ int_0 ^ \ infty xf (x) dx $ 수렴-이 경우에 적용되지만 더 일반적으로 가정 할 수는 없습니다 '. 예를 들어, 대칭 인수는 표준 Cauchy의 평균이 0이지만 '가 없습니다.
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답변
기대치를 계산하는 방법을 배우고 싶고 몇 가지 간단한 방법을 알고 싶으므로 순간 생성 기능 (mgf)
$$ \ phi (t) = E [e ^ {tX}]. $$
이 방법은 작동합니다. 특히 분포 함수 또는 그 밀도가 지수 자체로 주어질 때 좋습니다. 이 경우 관찰 한 후에 실제로 통합 할 필요가 없습니다.
$$ t ^ 2 / 2-\ left (x-t \ right) ^ 2 / 2 = t ^ 2 / 2 + (-x ^ 2 / 2 + tx-t ^ 2 / 2) = -x ^ 2 / 2 + tx, $$
왜냐하면 $ x $에 표준 정규 밀도 함수를 다음과 같이 작성하기 때문입니다. $ C e ^ {-x ^ 2 / 2} $ (값을 알 필요가없는 상수 $ C $의 경우) 이렇게하면 mgf를 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.
$$ \ phi ( t) = C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {tx} e ^ {-x ^ 2 / 2} dx = C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {-x ^ 2 / 2 + tx} dx = e ^ {t ^ 2 / 2} C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {-(xt) ^ 2 / 2} dx. $$
오른쪽에서 $ e 뒤 ^ {t ^ 2 / 2} $ 항을 사용하면 평균 $ t $ 및 단위 분산이있는 정규 분포의 총 확률의 적분을 인식하게됩니다. 따라서 $ 1 $입니다. 따라서
$$ \ phi (t) = e ^ {t ^ 2 / 2}. $$
Normal density는 큰 값에서 매우 빠르게 작아지기 때문에 $ t $ 값에 관계없이 수렴 문제가 없습니다. $ \ phi $는 $ 0 $에서 분석적입니다. 즉, MacLaurin 시리즈와 같습니다
$$ \ phi (t) = e ^ {t ^ 2 / 2} = 1 + (t ^ 2 / 2 ) + \ frac {1} {2} \ left (t ^ 2 / 2 \ right) ^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {k!} \ left (t ^ 2 / 2 \ right) ^ k + \ cdots.$$
하지만 $ e ^ {tX} $는 $ tX $의 모든 값에 대해 절대적으로 수렴하므로 다음과 같이 쓸 수도 있습니다.
$$ E [e ^ {tX}] = E \ left [1 + tX + \ frac {1} {2} (tX) ^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {n!} (tX) ^ n + \ cdots \ right] \\ = 1 + E [X] t + \ frac {1} {2} E [X ^ 2] t ^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {n!} E [X ^ n] t ^ n + \ cdots. $$
두 개의 수렴 멱급수는 용어별로 동일한 경우에만 동일 할 수 있습니다 ($ t ^ {2k} = t ^ n $를 포함하는 용어 비교)
$$ \ frac {1} {(2k)!} E [X ^ {2k}] t ^ {2k} = \ frac {1} {k!} (t ^ 2 / 2) ^ k = \ frac {1 } {2 ^ kk!} t ^ {2k}, $$
내포
$$ E [X ^ {2k}] = \ frac {(2k)!} { 2 ^ kk!}, \ k = 0, 1, 2, \ ldots $$
(그리고 $ X $의 홀수 거듭 제곱에 대한 모든 기대치는 0입니다). 거의 아무런 노력없이 $ X $의 모든 양의 적분 력에 대한 기대치를 한 번에 얻었습니다.
이 기법의 변형은 $ E [1과 같은 경우에 따라 잘 작동 할 수 있습니다. / (1-tX)] = E [1 + tX + (tX) ^ 2 + \ cdots + (tX) ^ n + \ cdots] $, $ X $의 범위가 적절하게 제한되는 경우. mgf (및 특성 함수 $ E [e ^ {itX}] $)는 매우 일반적으로 유용하므로 다음과 같은 분포 속성 테이블에서 찾을 수 있습니다. 정규 분포의 Wikipedia 항목 .