Heisenberg 그림에서 (자연 치수 사용) : $$ O_H = e ^ {iHt} O_se ^ {-iHt}. \ tag {1} $$ Hamiltonian이 시간과 무관하면 시간에 대해 양변의 편미분을 취할 수 있습니다. $$ \ partial_t {O_H} = iHe ^ {iHt} O_se ^ {-iHt} + e ^ {iHt} \ partial_tO_se ^ {-iHt} -e ^ {iHt} O_siHe ^ {-iHt}. \ tag {2} $$ 따라서 $$ \ partial_t {O_H} = i [H, O_H] + (\ partial_tO_s) _H \,, \ tag {3} $$ 그러나 이것은 많은 교과서에 나열된 것과 동일하지 않습니다. Heisenberg 운동 방정식. 대신 $$ \ frac {d} {dt} {O_H} = i [H, O_H] + (\ partial_tO_s) _H라고 말합니다. \ tag {4} $$ 일반적으로 이것이 사실이고 이전 진술이 아닌 이유는 무엇입니까? 편도 함수와 전체 도함수를 사용하는 것에 대해 현명한 생각을하고 있습니까?
댓글
- 편도 함수를 적용한 이유는 무엇입니까? 하이젠 베르크 형식주의에서 주 켓은 시간에 따라 고정되고 운영자는 시간에 따라 다릅니다. 따라서 LHS에서 연산자의 총 시간 미분을 취할 수 있습니다.
- 죄송합니다. ' 당신의 논리를 이해할 수 없습니다. 여기서 $ O_s $는 시간에 따라 변할 수 있고 $ O_H $도 변할 수 있지만 LHS에는 총 시간 도함수가 있다는 것이 매우 분명합니다. of $ O_H $이고 RHS에 부분 시간 파생 이 나타납니다. 왜 ' 둘 다 시간에서 편도 함수가 아닌 이유는 무엇입니까?
- @ I.E.P. 식에서. (2), 왼쪽에는 왜 ' $ \ frac {d \, O_H} {dt} $가 아닌가요?
- @IEP, 왼쪽에는 $ \ frac {d \, O_H} {dt} $를 사용해야하며 총 미분은 편미분의 합으로 표현할 수 있습니다.
- @IEP 여기서 누락 된 것은 총 미분과 편미분의 수학적 차이입니다. 왼쪽에서 $ t $의 함수로 $ O_H $, 따라서 전체 미분, 오른쪽에서 $ O_H $는 관계식 (1)을 통해 구성된 함수로, 따라서 모든 구성 요소 함수에 대한 편미분입니다.
답변
시간 의존성을 명시하기위한 몇 가지 정의를 사용하면 방정식 (4)를 이해할 수 있습니다. 다음을 살펴 보겠습니다.
시간 및 기타 매개 변수에 따라 $ O_s $를 연산자로 지정합니다. $ O_s : \ mathbb {R} \ times S \ rightarrow \ mathrm {Op} $, 여기서 $ S $는 다른 매개 변수의 공간이고 $ \ mathrm {Op} $는 Hilbert 공간의 연산자 공간입니다. $ \ phi : \ mathbb {R} \ times \ mathrm {Op} \ rightarrow \ mathrm {Op} $는 $ \ phi_t (O) = e ^ {iHt} Oe ^ {-iHt} $로 주어진 Heisenberg 그림에서 연산자의 시간 변화를 나타냅니다.
$ (\ partial_t \ phi) _t (O) = i [H, \ phi_t (O)] $ 및 $ \ partial_O \ phi = \ phi $ ($ \ phi $는 $ O $에서 선형이기 때문에) 이제 매개 변수 $ p \ in S $가 주어집니다. 시간의 함수를 정의 할 수 있습니다 : $ O_H : \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathrm {Op} $ with $ O_H (t) = \ phi_t (O_s (t, p)) $. 우리의 함수 $ O_H $는 1 개 매개 변수 1이므로 전체 미분 : \ begin {align} \ frac {dO_H} {dt} (t) = & (\ partial_t \ phi ) _t (O_s (t, p)) + (\ partial_O \ phi) _t \ left [(\ partial_tO_s) (t, p) \ right] \\ = & i [ H, \ phi_t (O_s (t, p))] + \ phi_t \ left [(\ partial_tO_s) (t, p ) \ right] \\ = & i [H, O_H (t)] + e ^ {iHt} (\ partial_tO_s) (t, p) e ^ {-iHt}, \ end {align}
첫 번째 단계에서는 연쇄 규칙을 적용했고 다른 단계에서는 이미 가졌던 평등을 적용했습니다.
답변
아니요, 편도 함수를 잘못 사용하는 것에 대해 “그냥”현학적 인 것이 아닙니다. 식 (2)와 (3)은 완전히 잘못되었습니다. @WeinEld가 지적했듯이 정의를 올바르게 적용하지 않았습니다. (SHO와 같은 간단한 시스템에 대한 질문을 설명했다면 슬픔을 아끼지 않았을 것입니다.)
$$ O_H \ equiv e ^ {iHt} O_se ^ {-iHt}, $$ 따라서 $$ O_S = f (x, p; t) \ qquad \ Longrightarrow \ qquad O_H = f (x (t), p (t); t), $$ 여기서 $ x (t) = e ^ {iHt } xe ^ {-iHt} $ 및 p 의 경우도 마찬가지입니다.
$ O_H $의 시간 미분은 편미분 wrt로 구성됩니다. 세미콜론 뒤의 t 와 하이젠 베르크 그림에서 x 및 p 의 흐름으로 인한 대류 미분 , $$ \ frac {\ partial O_H} {\ partial x (t)} \ dot {x} + \ frac {\ partial O_H} {\ partial p (t)} \ dot {p} = i [H, O_H] = e ^ {iHt} (i [H, O_S]) e ^ {-iHt}. $$ (이것을 증명하십시오! 당신이하지 않았다면, 토론은 모두 증기입니다.)
편미분은 $$ \ frac {\ partial O_H} {\ partial t} = e ^ {iHt} \ frac입니다. {\ partial O_S} {\ partial t} e ^ {-iHt} = \ left (\ frac {\ partial O_S} {\ partial t} \ right) _H. $$ (일부는 이것을 $ \ frac {\ partial O_H} {\ partial t} $로 표현합니다. 독자가 세미콜론 뒤에 오는 인수의 분명한 차이 만 제대로 이해할 수 있다고 믿으면이 질문이 그들을 만들 수 있습니다. 두 번 생각하세요 . 이제 $ O_S $는 대류 미분 $ dO_S / dt = \ partial O_S / \ partial t $가 사라지기 때문에 댓글에서 올린 것처럼 그래서 이것은 문제가되지 않습니다.)
어쨌든 두 조각을 합치면 기존의 $$ \ frac {d} {dt} {O_H} = i [H, O_H] + (\ partial_tO_s) _H가됩니다. $$
SHO, $ H = (p ^ 2 + x ^ 2) / 2 $, SHO에서 $ O_S = tx $와 같은 단순한 관찰 대상의 명백한 행동을 모니터링합니다. 위상 공간에서 고전적인 회전, $ x (t) = x \ cos t + p \ sin t $, $ p (t) = p \ cos t-x \ sin t $; 따라서 $ O_H = tx (t) $. 따라서 $ dO_H / dt = t p (t) + x (t) $ : 이제 각 그림의 효율성과 차이를 인식합니다. (예 : $$ dO_H / dt = \ exp (itH) (it [p ^ 2 / 2, x] + x) \ exp (-itH) = e ^ {it ~ [(x ^ 2 + p ^ 2) / 2,} ~ (tp + x) ~, $$는 물리학 자들이 수학자의 ad 지도 표기법을 관례 적으로 피하는 방식입니다.)
S 그림을 Eulerian 프레임으로, H 그림을 Lagrangian, comoving 프레임으로 생각합니다.