운동량과 위치 간의 정규 정류 관계 는 다음과 같이 볼 수 있습니다. Heisenberg 그룹 의 거짓말 대수. 운동량과 운동량, 운동량 및 각 운동량 등의 정류 관계가 Lorentz 그룹에서 발생하는 이유를 알지만 Heisenberg 그룹의 물리적 대칭이 어디에서 유래했는지는 알 수 없습니다.
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- 관련 : physics.stackexchange.com/q/19029/2451
답변
다음 항목을 참조하십시오.
http://www.math.columbia.edu/~woit/QMbook/qmbook.pdf 13 장,
즉, “수학자를위한 양자 역학 : 하이젠 버그 그룹 및 Schrodinger Representation “by Peter Woit, 여기서 Heisenberg 그룹의 중요성에 대해 자세히 논의합니다. 그러나 물리적 의미는 물리적 상황의 대칭 그룹이 아닙니다. 따라서 표준 정류 관계와 유한 ( $ n $ ) 차원 Hiesenberg Lie 그룹이라고 말하세요. $ \ mathfrak {H} _n \ left (\ mathbb {R} \ right) $ . 관계의 RHS에 관한 것 $ \ left [\ mathbf {x}, \, \ mathbf {p} \ right] = i \, \ hbar \, \ mathbf {i 유한 차원 대수 $ \ mathfrak {h} _n \ left (\ mathbb {R} \ right) $ 의} $ 는 단위 행렬이 아닙니다.- 그것은 단순히 거짓말 대수에서 다른 모든 것과 통근하는 것입니다. 정규 정류 관계가 유한 차원 거짓말 대수를 참조 할 수 없다고 지적한 사람은 Hermann Weyl이었습니다. 이러한 대수에서는 거짓말 대괄호 $ \ left [\ mathbf {x}, \ , \ mathbf {p} \ right] $ (정사각형 행렬 사이)에는 트레이스가 0 개 있지만 단위 행렬 (또는 CCR의 RHS에서와 같이 스칼라 배수)은 그렇지 않습니다. 무한 차원의 힐베르트 공간에있는 연산자에게 전달해야합니다 ( $ eg $ $ p = i \, \ hbar \, d / dx $ )를 사용하여 정규 정류 관계의 완전한 실현을 찾습니다. 유한 차원 행렬 Heisenberg Lie 대수의 거동이 CCR과 근본적으로 다르다는 것을 이해하는 또 다른 방법은 불확실성 원리 자체입니다. 양자 상태 pan class = “에서 두 개의 비 통근 관측 가능 $ \ hat {a}, \ hat {b} $ 의 동시 측정에 대한 RMS 불확실성의 곱 math-container “> $ \ psi $ 는 양의 실수 $ \ frac {1} {2} \ left | \ left < \ psi | c | \ psi \ right > \ right | $ 여기서 $ \ left [\ hat {a}, \ hat {b} \ right] = ic $ (Merzbacher “Quantum Mechanics”3 판의 섹션 10.5 참조). $ c $ 가 유한 정사각형 행렬이고 Heisenberg 대수 에서처럼 전체 행 순위가 아닌 경우 특정 상태 ( $ c $ “s nullspace) 여기서 불확실성 곱이 nought 될 수 있습니다. 따라서 유한 차원 행렬 대수는 Heisenberg의 물리적 가정을 모델링 할 수 없습니다.
참조 Heisenberg 그룹에 대한 Wikipedia 기사도 있습니다.
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- 답변에 대한 사소한 댓글 (v2) : 표시된 Schroedinger 표현에 $ p $는 일반적인 기호가 아닙니다.