이 질문은 약간 게으르지 만 누구든지 내게 Hill sphere 공식에 대한 증거를 줄 수 있습니까? wikipedia 에 따르면 반경 $ r $의 공식은
$$ r \ approx a (1-e) \ left (\ frac {m} {3M} \ right) ^ {1/3} $$
여기서 $ m $ 질량체는 훨씬 더 큰 질량체 $ M $를 반장 축 $ a $ 및 편심 $ e $.
댓글
- 이 문서 .
- 두 질량 사이에 테스트 질량을 놓고 원점이 더 큰 질량에 있다고 가정하고 두 힘의 크기가 같은 위치를 계산합니까?
- @Dave는 ' 아주 멋진 문서입니다 (' 오늘 작업을 수행 할 계획 이었지만 지금은 …). ' 거기에 있다고 확신합니다. $ R_H = 3 ^ {-1/3} $ 및 " 길이 단위는 µ $ {} ^ {요소로 조정됩니다. 1/3} $ "하지만 ' (1- e )를 얻는 방법을 알 수 없습니다. 아주 쉽게.
- a (1-e)가 periastron이기 때문에?
- ' 실제로 파생어를 추가 한 것 같습니다. 위키피디아 페이지에-흥미롭게도 위키피디아 페이지에서 언급되지 않은 것은이 표면이 구형이 아니라는 것입니다. 이것은 축상의 입자가 손실 될 때를 나타냅니다 (적어도 단일 이벤트 동안-여러 개의 비 공진 이벤트는 결국 모든 자료를 외부에서 제거합니다. 구를 떠나는 언덕 반경)
답변
힐 구는 Roche 로브와 약간 다르게 정의됩니다. 이지만 반경은 라그랑주 점 L 1 및 L 2 까지의 거리로 근사됩니다.
각속도가있는 원 운동의 경우 $ \ omega $ 원점 주변에는 다음이 있습니다.
$$ \ ddot {\ mathbf {r}} =-\ omega ^ 2 \ mathbf {r} $$
$ \ mathbf {r} 위치에있는 다른 질량에있는 점 질량의 중력 가속도 $ 는 일반적인 역 제곱 법칙으로 주어집니다.
$$ \ ddot {\ mathbf {r}} =-\ frac {Gm} { \ left \ | \ mathbf {r} \ right \ | ^ 2} \ hat {\ mathbf {r}} $$
이제 질량이 $ m_1 $ 및 $ m_2 $ , 거리로 구분 $ r $ $ r_1 $ 및 $ r_2 $ .
sub에 대한 설정을 보여주는 다이어그램 > 1 < / sub >
이것은 1 차원 시스템이므로 벡터에서 스칼라로 전환 할 수 있습니다. 질량 중심의 정의에 따르면 다음과 같습니다.
$$ r_1 = \ left (\ frac {m_2} {m_1 + m_2} \ right ) r $$ $$ r_2 = \ left (\ frac {m_1} {m_1 + m_2} \ right) r $$
질량 중심 주위의 $ m_2 $ 궤도에 대해 중력 가속도와 원 운동에 필요한 가속도를 동일시하면 다음을 얻을 수 있습니다.
$$ \ omega ^ 2 r_2 = \ frac {G m_1} {r ^ 2} $$
그런 다음 pan class = $ r_1 $ 측면에서 “math-container”> $ r_2 $ 는 Kepler의 제 3 법칙을 제공합니다.
$$ \ omega ^ 2 = \ frac {G \ left (m_1 + m_2 \ right)} {r ^ 3} $$
다음으로 원 운동에 필요한 가속도를 제공하기 위해 1 차 및 2 차의 중력이 결합되는 L 1 지점까지의 거리.원 운동의 가속도를 중력과 동일시하면 다음과 같은 결과가 나타납니다.
$$ \ omega ^ 2 \ left (r_2-h \ right) = \ frac {G m_1 } {\ left (r-h \ right) ^ 2}-\ frac {G m_2} {h ^ 2} $$
그리고 $ \ omega $ 결과 :
$$ \ frac {\ left (m_1 + m_2 \ right) \ left (r_2-h \ 오른쪽)} {r ^ 3} = \ frac {m_1} {\ left (r-h \ right) ^ 2}-\ frac {m_2} {h ^ 2} $$
그런 다음이를 질량비 $ q = \ frac {m_2} {m_1} $ 및 상대 거리 로 다시 작성합니다. $ z = \ frac {h} {r} $ , 기부 :
$$ 1-z \ left (1 + q \ right) = \ left (1-z \ right) ^ {-2}-qz ^ {-2} $$
결과는 입니다. $ z $ 에 대한 오차 방정식 . 일반 오분 법에는 대수 해가 없으므로 수치 적으로 풀어야합니다. (나는 t 증명 )을 이해하는 척할 것입니다.
제공되는 경우 $ m_1 \ gg m_2 $ , 이것은 태양계 행성에 대한 좋은 근사치입니다. 우리는 오분 법을 푸는 것을 피하기 위해 근사치를 만들 수 있습니다. 이 경우 언덕 구는 두 개체 사이의 간격보다 훨씬 작습니다. 즉, 대략 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
$$ \ begin {aligned} 1 + q & \ 약 1 \\ \ left (1-z \ right) ^ {-2} & \ 약 1 + 2z \ end {aligned} $$
두 번째 줄은 이항 근사 입니다. 결과 :
$$ 1-z \ approx 1 + 2z-qz ^ {-2} $$
재정렬 $ z $ 해결 방법 :
$$ z ^ 3 \ approx \ frac {q} {3} $$
그런 다음 $ z $ 및 의 정의 사용 $ q $ 이것은
$$ h \ approx r \ left (\ frac {m_2} {3 m_1} \ right) ^ {1가됩니다. / 3} $$
언덕 구의 크기에 대한 일반적인 공식입니다.
L 2 의 경우 라그랑주 점은 2 차 점 뒤에 위치하므로 중력과 원형 운동의 방정식은 다음과 같습니다.
$$ \ omega ^ 2 \ left (r_2 + h “\ right) = \ frac {G m_1} {\ left (r + h”\ right) ^ 2} + \ frac {G m_2} {h “^ 2} $$
여기서 $ h “$ 는 보조 지점에서 L 2 지점까지의 거리입니다.
$ \ o로 대체 mega $ 및 $ q $ 및 $ z “= \ frac {h”} {로 재 작성 r} $ 는 다음을 제공합니다.
$$ 1 + z “\ left (1 + q \ right) = \ left (1 + z”\ right ) ^ {-2} + qz “^ {-2} $$
다시 이것은 $ z”$ <에 대한 5 차 방정식을 제공합니다. / span>,하지만 L 1 의 경우와 비슷한 근사치를 만들 수 있습니다.
$$ \ begin {aligned} 1 + q & \ 약 1 \\ \ left (1 + z “\ right) ^ {-2} & \ 약 1-2z “\ end {aligned} $$
결과 :
$$ 1 + z”\ approx 1-2z ” + qz “^ {-2} $$
변수 단순화 및 다시 대체 :
$$ h” \ approx r \ left (\ frac {m_2} {3m_1} \ right) ^ {1/3} $$
원 궤도에서 작동합니다. 편심 궤도의 경우 일반적인 접근 방식은 거리 $ r $ 를 주변 거리 $ a \ left (1 -e \ right) $ 여기서 $ a $ 는 준 장축입니다. 보다 엄격한 접근 방식은 주변에서 각속도를 사용하고 거기에서 파생하는 것이지만 관심있는 독자를위한 연습으로 남겨 두겠습니다. 🙂
댓글
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+1' 쿼드 시대의 데모를 잊지 마세요. !
답변
언덕은 John William Hill (1812–1879)의 이름을 따서 명명되었으며 그것의 단순한 논리는 세 개의 물체 (태양이 2 차 질량으로 지구를 가진 가장 큰 질량이고 세 번째 질량으로 지구 궤도를 도는 무시할 수있는 질량의 위성이라고 가정하자)의 존재에서 따른다. 여기서 언덕 구의 반지름은 위성이 2 차 질량 (이 경우 지구)을 공전 할 수있는 가장 큰 반경. 궤도가 Hills 반경을 초과하면 첫 번째 물체 (태양)의 중력 영향을 받게되므로 더 이상 이차 물체의 위성이 아닙니다.
뉴턴의 방정식을 쓸 수 있습니다. 위성이 보조 물체와 같은 각속도를 가진다는 생각을 사용합니다.이것은 태양 주위의 지구의 각속도가 태양 주위의 위성의 각속도와 같다는 것입니다. 파생에 대한 데모는 다음 링크와 Roche 제한에 나와 있습니다.