나는 Ho-Lee 모델에서 짧은 요금에 문제가 있으며 무료 매개 변수 λ의 값을 찾는 방법과 이항 트리의 각 단계에 대한 Ho-Lee 모델 : $$ \ lambda_tdt + \ sigma \ sqrt dt $$
그것을 읽었습니다. 재결합 이항 트리의 각 단계에서 free 매개 변수를 설정하려면 상태 0의 비율을 현재 스팟 비율 (예 : 1 개월 스팟 비율)로 설정하고 모델에 연결했을 때 결과적으로 나타날 람다 값을 찾습니다. 다음 시간 단계에 대한 현재 스팟 비율 (예 : 상태 0에서 1 개월 스팟 비율로 시작하고 1 개월 시간 단계를 사용하면 모델에 연결될 때 람다에 대한 올바른 값이 현재 2 개월 스팟 비율 등을 생성 함). / p>
이것은 혼란 스럽습니다. 트리의 각 단계에 대한 람다 값을 결정한 후에는 내 빈과 함께 모델을 사용하려면 어떤 입력을 변경해야합니까? 선물 금리를 예측하는 omial tree .. ie : 한 달에 한 달 금리, 두 달에 등?
내 설명이 “명확하지 않은 경우, 여기에 Bruce Tuckman”의 책에서 제외 된 내용이 있습니다. subject.
… 모델이 시장에서와 동일한 2 개월 현물 요율을 생성하도록 λ1을 찾습니다. 그런 다음 모델이 시장과 동일한 3 개월 현물 요율을 생성하도록 λ2를 찾습니다. 트리가 끝날 때까지이 방식으로 계속하세요.
답변
알다시피 Ho-Lee 모델은 확률 적 미분 방정식 \ begin {align} dr_t = \ lambda_t \, dt + \ sigma \, dW_t \ end {align} 이항 트리를 구현하기 위해 오일러 이산화를 사용합니다. \ begin {align} r_t = r_ {t- \ Delta t} + \ lambda_ {t- \ Delta t} \, \ Delta t + \ sigma \, \ sqrt {\ Delta t} \, Z \ end {align} 여기서 $ Z $는 표준 일반 랜덤 변수입니다. $ t_0 = 0 < t_1 < … < t $ 및 이산 시간으로 방정식 확장 \ begin {align} r_t = r_0 + \ Delta t \ sum_ {t_0 \ leq t_i \ leq t- \ Delta t} \ lambda_ {t_i} + \ sigma \ Delta t \ sum_ {t_0 \ leq t_i \ leq t- \ Delta t} \ \, Z \ end {align}이 관계는 단기 비율이 비 확률 적 드리프트 항 세트와 무작위 항 세트의 합계임을 보여줍니다. 따라서 무 차익 제로 쿠폰 채권 가격 $ P (t, t + \ Delta t) $는 다음과 같이 명시됩니다.
\ begin {align} P (0, t_n) = E ^ Q \ left [ exp \ left (-\ Delta t \, \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} r (t_i) \ right) \ right] \ end {align} 예를 들어 시간 $ n = 2에서 채권 가격 계산 $는 다음과 같습니다. \ begin {align} P (0, t_2) = E ^ Q [\ Delta t \, exp (-r_ {t_0} -r_ {t_1})] = e ^ {-\ Delta t \, r_ {t_0}} E ^ Q [e ^ {-\ Delta t \, r_ {t_1}}] \ end {align} 즉 \ begin {align} P (0, t_2) = e ^ {-\ Delta t \, r_ {t_0}} \, exp \ left (-\ De lta t \, E ^ Q [r_ {t_1}] + \ frac {1} {2} \ Delta t \, Var ^ Q [r_ {t_1}] \ right) \ end {align}이 경우 $ r_t $에는 정규 분포가 있으므로 \ begin {align} \ ln P (0, t_2) =-\ Delta t \, r_ {t_0}-\ Delta t \, r_ {t_0}-\ Delta t \ lambda_0 \, + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (\ Delta t) ^ 2 = -2 \ Delta t \, r_ {t_0}-\ lambda_0 \, \ Delta t + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (\ Delta t) ^ 2 \ \ end {align}하지만 \ begin {align} \ ln P (0, t_2) = \ Delta t \, [-f (0,0) -f (0, t_1)] \ end {align} 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다. \ begin {align} -r_ {t_0} -f (0, t_1) =-2r_ {t_0}-\ lambda_0 \ t + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 \ Delta t \ \ end {align} 다음 \ begin {align} \ lambda_ {t_0} = f (0, t_1) -r_ {t_0} + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 \ Delta t \ \ end {align}이 관계는 Ho-Lee의 짧은 금리 차익 거래 모델을 발전시키는 데 필요한 재귀 관계를 제공합니다. 우리는 채권 가격과 변동성 구조를 단기 금리에 대한 입력으로 사용합니다. 따라서 모델의 이항 트리를 묘사하는 진화 방정식을 얻습니다.
댓글
- 답변 해 주셔서 감사합니다. '이 내 이해 수준보다 높습니다. 간단히 말해, 모델의 요점은 미래 요금을 모델링하는 것임을 이해합니다. ' 트리의 각 단계에서 모델이 현재 스팟 요율을 표시하도록 자유 매개 변수를 설정했다고 읽었습니다. 이것이 모델이 캘리브레이션되었음을 아는 방법 인 경우 향후 요율을 모델링하는 데 사용할 수 있도록 어떤 입력을 변경해야합니까?