감마 분포의 예상 값

$ \ alpha > 0 $ 모양과 $ \ beta 요율 > 0 $ 인 감마 분포의 랜덤 변수에 대해 “관련되어 있다고 가정합니다. 매개 변수, 즉 $ X \ sim Gamma (\ alpha, \ beta) $이면 다음과 같은 방식으로 $ \ mathbb {E} [\ frac {1} {X ^ 2}] $를 찾을 수 있습니다.

$ f $가 확률 밀도 함수를 나타내는 연속 분포의 임의 변수 X (예 : 감마)의 경우 (예 : $ f (x) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha-1} e ^ {-\ beta x} $) 및이 변수의 모든 함수 $ g $ (귀하의 경우 $ g (x) = \ frac {1} {x ^ 2) } = x ^ {-2} $), 다음을 보유합니다 : $$ \ mathbb {E} [g (x)] = \ int \ limits _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} g (x) f (x ) dx $$

귀하의 예에서는 매우 단순화합니다 ($ -3 $에주의) : $$ g (x) f ( x) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha-3} e ^ {-\ beta x} $$ 분수는 $ x $에 의존하지 않습니다. , 그래서 그것은 적분 밖에 놓을 수 있습니다.

그런데 이산 분포의 경우 매우 유사합니다. $$ \ mathbb {E} [g (x)] = \ sum \ limits_ {x \ in \ mathcal {X}} g (x) f (x), ~~ \ text {where} ~ \ mathcal {X} ~ \ text {X에 대한 지원을 나타냅니다 (사용할 수있는 값 집합)} $$

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더 이상 긴장하지 않겠습니다. 먼저 $ \ Gamma (\ alpha + 1) = \ alpha \ cdot \ Gamma (\ alpha) $를 기억하세요.

Let $ f _ {\ alpha} (x) = \ frac {\ 베타 ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha-1} e ^ {-\ beta x} $. 이 두 가지를 결합하면 간단하게 관찰 할 수 있습니다. $$ x \ cdot f _ {\ alpha} (x) = \ frac {\ alpha} {\ beta} \ cdot f _ {\ alpha + 1} (x) $$ 연속적으로 : $ $ \ frac {f _ {\ alpha + 1} (x)} {x} = \ frac {\ beta} {\ alpha} \ cdot f _ {\ alpha} (x) $$ 이것을 두 번 사용하면 결과를 얻을 수 있습니다. :

$$ \ frac {f _ {\ alpha} (x)} {x ^ 2} = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {f _ {\ alpha- 1} (x)} {x} = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} {\ alpha-2} \ cdot f _ {\ alpha-2} (x) $$ 궁극적으로 ($ f _ {\ alpha-2} (x) $는 적분이 $ 1 $와 같은 PDF이기도합니다) : $$ \ mathbb {E} (\ frac {1} {X ^ 2}) = \ int \ limits_ { -\ infty} ^ {+ \ infty} \ frac {f _ {\ alpha} (x)} {x ^ 2} dx = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} { \ alpha-2} \ cdot \ int \ limits _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} f _ {\ alpha-2} (x) dx = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} {\ alpha-2} $$ 위의이 솔루션은이 특정 경우를위한 것이지만 whuber 가 지적했듯이 , 실수 및 양수 $ p \ in \ mathbb {R}, ~ p > 0 $에 대한보다 일반적인 경우 보유 : $$ \ mathbb {E} (X ^ p) = \ beta ^ p \ cdot \ frac {\ Gamma (\ alpha + p)} {\ Gamma (\ alpha)} $$

댓글

• @TJ Phu이 적분을 계산할 때 실제로 문제가있는 부분을 알려주세요. 어쨌든 알려주세요. 그러나 gung 및 Silverfish 댓글을 따르고 질문의 전체적인 레이아웃을 개선해보세요.
• @TJ Phu 원시 작업에 대한 첫 발언 일 수도 있습니다. 통합은 약간 오해의 소지가있었습니다. 내 솔루션을 완전히 이해했는지 알려주세요 (내 또는 whuber 답변을 수락하여 간단히).

저는 게으른 방식으로 진행하겠습니다. 정의부터 시작하여 무엇이 뒤 따르는 지 자세히 살펴 봅니다. 누군가 나에게 이미 답을 보여 주 었는지 확인하십시오. 다음에서는 계산이 전혀 필요하지 않으며 대수를 따르기 위해 가장 간단한 규칙 (지수 및 적분) 만 필요합니다.

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감마 분포부터 시작하겠습니다. $ \ beta = 1 $ 인 $ X $ 의 측정 단위를 선택합니다. $ X $ 에 $ \ Gamma (\ alpha) $ 분포가 있다고합니다. 이는 밀도가 양수 값에 대해서만 양수임을 의미하며 확률 밀도 요소는 다음과 같이 지정됩니다.

$$ f_ \ alpha (x) dx = \ frac {1 } {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha} e ^ {-x} \ frac {dx} {x}. $$

(호기심이 있다면 $ dx / x $ 표현식은 https://stats.stackexchange.com/a/185709 에 설명되어 있습니다. a>. 마음에 들지 않으면 $ x ^ \ alpha dx / x $ 를 $ x ^ {로 바꿉니다. \ alpha-1} dx $ .)

정규화 상수는 $ f_ \ alpha (x) dx의 적분을 만들기 위해 존재합니다. $ 단일성, 어디서 그것을 추론 할 수 있습니까?

$$ \ begin {aligned} \ Gamma (\ alpha) & = \ Gamma (\ alpha) (1) = \ Gamma (\ alpha) \ int_0 ^ \ infty f_ \ alpha (x) dx = \ frac {\ Gamma (\ alpha)} {\ Gamma (\ alpha )} \ int_0 ^ \ infty x ^ {\ alpha} e ^ {-x} \ frac {dx} {x} \\ & = \ int_0 ^ \ infty x ^ { \ alpha} e ^ {-x} \ frac {dx} {x} \ end {aligned} \ tag {1} $$

수는 중요하지 않습니다. $ \ Gamma (\ alpha) $ 실제로 있습니다. 잘 정의되고 유한 한 $ \ alpha \ gt 0 $ 제공 및 그렇지 않은 경우 분기되는 것으로 충분합니다.

이제 기대에 대한 규칙을 살펴 보겠습니다. ” 무의식 통계학 자의 법칙 “은 $ X $의 모든 기능에 대한 기대치를 말합니다. (예 : 일부 전력 $ p $ 에 대한 $ X ^ p $ (일반적으로 양수이지만 음수 일 수도 있고 복잡 할 수도 있음)는 $ x $ 의 함수를 밀도에 통합하여 얻을 수 있습니다.

$$ E [X ^ p] = \ int_0 ^ \ infty x ^ p \ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha} e ^ {-x} \ frac { dx} {x}. $$

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이제 응시할 시간입니다. 적분을 무시하면 적분은 충분히 간단한 식입니다. 대수의 규칙을 사용하여 다시 작성하고 그 과정에서 상수 값 $ 1 / \를 이동합니다. 적분 중 감마 (\ alpha) $ :

$$ E [X ^ p] = \ frac {1} {\ Gamma ( \ alpha)} \ int_0 ^ \ infty x ^ {p + \ a lpha} e ^ {-x} \ frac {dx} {x}. \ tag {2} $$

엄청나게 친숙해 보일 것입니다. 다른 감마 분포 밀도 함수와 비슷하지만 $ \ alpha $ 대신 $ p + \ alpha $ 를 사용합니다. 스팬>. 방정식 $ (1) $ 은 더 이상 생각하거나 계산하지 않고 즉시 알려줍니다.

$$ \ int_0 ^ \ infty x ^ {p + \ alpha} e ^ {-x} \ frac {dx} {x} = \ Gamma (p + \ alpha). $$

이것을 $ (2) $ 의 오른쪽에 넣으면

$$ E [X ^ p] = \ frac {\ Gamma (p + \ alpha)} {\ Gamma (\ alpha)}. $$

(실제 부분) $ p + \ alpha \ gt 0 $ 이 (가) 수렴되도록합니다.

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다시 확인하기 위해 공식을 사용하여 처음 몇 분을 계산하고이를 무엇과 비교할 수 있습니다. Wikipedia에 따르면 . 평균값으로

$$ E \ left (X ^ 1 \ right) = \ frac {\ Gamma (1+ \ alpha)} {\ Gamma (\ alpha)} = \ alpha $$

그리고 두 번째 (원시) 순간에는

$$ E \ left (X ^ 2 \ right) = \ frac {\ Gamma (2+ \ alpha)} {\ Gamma (\ alpha)} = \ alpha (\ alpha + 1). $$

결과적으로 분산은 $$ E \ left (X ^ 2 \ right)-E (X) ^ 2 = \ alpha (\ alpha + 1)-\ alpha ^ 2입니다. = \ alpha. $$

이 결과는 권위와 완벽하게 일치합니다. 수렴 문제가 없습니다. $ \ alpha \ gt 0 $ 이후로 둘 다 $ \ alpha + 1 \ gt 0 $ 및 $ \ alpha + 2 \ gt 0 $ .

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이제 안전하게 $ p = -2 $ 원래 질문에 대한 결론을 도출하세요. 답변이 존재하는 조건을 확인하는 것을 잊지 마십시오.그리고 $ X $ 의 단위를 원래 단위로 다시 변경하는 것을 잊지 마십시오. 그러면 답변에 $가 곱해집니다. \ beta ^ p $ (또는 $ \ beta ^ {-p} $ , $ \ beta $ 는 척도 또는 요율 )입니다.