낙하물이 특정 속도에 도달하는 데 걸리는 시간을 계산해야하는 숙제 문제를 받았습니다. 항력을 고려할 때. 나는 가속도를 속도의 함수로 설정하고 적분 (미분 방정식)함으로써 해냈습니다.
그러나 이것은 미적분에 대한 지식이 필요하지 않은 물리학 입문 과정입니다. 엄밀히 말해서 우리는 아직 미분도 해본 적이 없습니다. 전에 미적분을들을 수있을만큼 운이 좋았습니다. 미분 방정식을 인식하고 풀 수 있습니다.
동급생들에게 어떻게했는지 물었을 때 그들은 효과가있는 것을 얻을 때까지 숫자를 엉망으로 만들었다 고 말했습니다 (오답에 대한 점수가 차감되지 않고 온라인 상태였습니다). 대부분의 경우, 종점 속도를 중력으로 인한 가속도로 나눴습니다. 이는 말이되지 않습니다. 왜냐하면 종점 속도에 도달하는 데 걸리는 시간도 요구되지 않았기 때문입니다. 63 %입니다. 그 방법은 정확한 것과 같은 숫자로 반올림되었습니다.
제 질문은 초등 물리학을 사용하여이 값을 찾을 수있는 방법이 있습니까? 아니면 교수님이 우리에게 불공평 한 문제를 주었습니까? TA는 도움이되지 않았고 그녀의 근무 시간 동안 수업이 있습니다.
질문 자체는 다음과 같습니다.
The 4 × 10 $ ^ {-5} $ kg 빗방울의 끝 속도는 약 9m / s입니다. 항력 $ F_D = −bv $를 가정하면 이러한 낙하가 휴식에서 시작하여 63에 도달하는 데 필요한 시간을 결정합니다. 터미널 속도의 %.
설명
- 답은 지수 / 대수 단방향을 포함하기 때문에 또는 다른 하나는 지수 / 로그를 포함하는 일종의 해법을 개발해야 할 것입니다. 독을 선택하세요. '가 미적분의 근사치가 될 것 같습니다.
- 로그를 포함하는 솔루션이 공정한 게임이라고 생각합니다. 우리는 '이 사실을 거의 알 것으로 예상됩니다. 문제는 제가 할 수 있다는 것입니다. ' 미분 방정식을 포함하지 않는 '이 작업을 수행하는 방법을 생각하지 마세요. 저는 ' 미적분을 낸 후 그런 식으로 문제를 처리하는 데 익숙했기 때문에 '입니다. 누군가 다른 방법을 생각해 낼 수 있다면 대단히 감사하겠습니다.
- 63 %가 $ 1이라는 것이 ' 관련되었을 가능성이 있습니다.-e ^ {-1} $
답변
항력이 속도의 선형 함수로 모델링되는 경우 $ (\ vec { F} _D = -b \ vec {v}) $, 문제는 직접 입니다. 떨어지는 물방울에 대한 수직 힘 균형은 $$ \ Sigma F_y = mg-bv = m \ dot {v}, $$이며 속도에 대해 다음과 같은 미분 방정식을 제공합니다. $$ \ boxed {\ dot {v} + \ frac {b} {m} v = g}. $$ 최대 속도 / 제로 가속도 $ (\ dot {v} = 0) $의 제한 사례에서 힘 균형은 $$ mg = bv_ {max}로 단순화됩니다. , $$ 또는 $$ \ boxed {v_ {max} = \ frac {mg} {b}}. $$ 미분 방정식으로 돌아가서 초기 속도 $ v (0) = 0 $이면 이 ODE는 $$ v (t) = \ frac {mg} {b} \ left [1-e ^ {-bt / m} \ right]. $$ 시간 상수를 $ \ tau = \ frac {로 정의하여 m} {b} $ 및 종단 속도의 정의를 사용하여 속도의 시간 진화는 $$ \ boxed {v (t) = v_ {max} \ left [1-e ^ {-t / \ tau } \ right]}. $$ 원하는 경우 다른 통합을 수행하여 위치를 쉽게 찾을 수 있습니다. $$ y (t) = \ int {v} dt = v_ {max} \ int {\ left (1-e ^ {-t / \ tau} \ right)} dt. $$ 초기 위치 $ y (0) = 0 $라고 가정하고 단순화하면 수직 위치에 대한 해는 $$ \ boxed {y (t) = v_ {max} t + v_ {max} \ tau \ left [e ^ {-t / \ tau} -1 \ right]}. $$ 이제 우리는 시간의 함수로서 떨어지는 물체의 가속도, 속도 및 위치에 대한 분석 솔루션과 모두 알려진 시스템 매개 변수가 있습니다 ( $ b $ 제외). 그러나 $ 0.63v_ {max} $의 속도에 도달하기 위해 요청 된 시간은 임의적이지 않습니다. 시간 상수가 한 번 지나면 $$ \ frac {v (\ tau)} {v_ {max}} = 1-e ^ {-1} = 0.63212 = \ boxed {63.212 \ %}. $$가됩니다. 따라서 우리는 단순히 시간 상수의 값을 계산하면 결과 값이 답이 될 것입니다. 급우들에 관해서는 틀리지 않습니다. 우리의 목표는 $ \ tau $를 계산하는 것입니다. 이전 수학을 자세히 살펴보면 $ \ tau $가 실제로 종단 속도를 $ g $로 나눈 값과 같다는 것을 알 수 있습니다. 위치, 속도 및 가속도 함수의 옥타브 플롯은 참조 용으로 아래에 포함되어 있습니다 (두 번째 플롯에서 $ k $를 $ b $로 대체).
댓글
- 예, 우리는 당신이 연결 한 방정식. 그러나 감사합니다. 이것은 제가 찾던 것입니다.이 질문을 풀 수있는 좀 더 일반적인 방법이 있는지 알고 싶었습니다. 우리가 알아낼 수 있어야했는데 대답이 아니요인 것 같습니다.
- @JakeChristensen 아직 다른 방법이있을 수 있습니다. 답을 찾을 수 있지만 미적분 (적어도 Newton ' s Calculus)은 물리학 문제를 해결하기 위해 발명되었습니다;-)
답변
일반적으로 드래그는 속도 제곱에 비례하므로 하향 가속은
$$ a = \ dot {v} = g-\ beta v ^ 2 $$
이러한 동작에 대한 해결책은 $$ \ begin입니다. {aligned} x & = \ int \ frac {v} {a} {\ rm d} v =-\ frac {1} {2 \ beta} \ ln \ left ( 1-\ frac {\ beta v ^ 2} {g} \ right) \\ t & = \ int \ frac {1} {a} {\ rm d} v = -\ frac {1} {4 \ sqrt {\ beta g}} \ ln \ left (\ frac {(v \ sqrt {\ beta}-\ sqrt {g}) ^ 2} {(v \ sqrt {\ beta } + \ sqrt {g}) ^ 2} \ right) \ end {aligned} $$
그래서 목표로 삼고 싶은 속도 $ v $ 를 연결하면 거리 $ x $ 및 $ t $ 에 도달합니다.
PS. 드래그 매개 변수 $ \ beta $ 를 모르지만 대신 최고 속도를 알고있는 경우
답변
1) 끝 속도에서 항력의 힘을 찾습니다. 2)이 힘에 .63 (63 %)을 곱합니다. 3)이 새로운 힘을 빗방울의 질량으로 나눕니다. 4) 속도 가속 시간을 사용합니다. 시간에 대해 풀 운동학 방정식 $$ {(V) = (Vi + a (t))} $$
댓글
- 이것은 ' 올바른 것이 아닙니다. 가속이 일정하다고 가정합니다 (속도 및 공기 저항 변화와 관련된 문제가 아닙니다). . 저는 ' 여기서 $ a (t) $는 $ a * t $를 의미한다고 가정합니다. $ t $의 함수로 $ a $를 의미한다면 모두.