다이아몬드로 육각형 타일링

정말 쉬운 증거를 찾은 것 같습니다.

세로면이있는 모든 타일에는 세로면이 인접한 두 개의 다른 타일이 있어야합니다. , 또는 육각형의 수직 경계. 수직면이있는 지정된 타일의 경우 이러한 인접한 타일을 따라 가면 육각형의 양쪽 수직면에 대한 특정 경로가 생성됩니다.

즉, 수직면이있는 모든 타일은 왼쪽에서 시작하는 경로에 있습니다. 육각형이며 오른쪽에서 끝나며 세로면이있는 타일로만 구성됩니다. 이러한 경로는 교차 할 수 없습니다. 이는 첫 번째 단락에 따라 존재할 수없는 육각형의 왼쪽에 수직면이있는 단일 타일에서 두 개의 다른 경로를 생성하기 때문입니다.

경로가 하나도 없기 때문에 교차, 육각형의 왼쪽과 오른쪽 사이의 모든 경로는 동일한 높이에서 시작하고 끝나야합니다. 따라서 모든 경로에는 세로 방향이 다른 두 개의 서로 다른 방향의 타일이 각각 동일한 수로 포함되어야합니다. 수직면이있는 모든 타일은 이러한 경로에 있기 때문에 방향이 다른 두 타일의 총 수는 동일해야합니다.

다른 두 방향에 대해 대칭 적으로 반복하여 각 방향의 타일 수가 있어야합니다. 평등합니다.

댓글

• 아주 좋은 증거입니다. a + b = b + c = c + a가 a = b = c와 같다는 단순한 관찰로 더 쉽게 만들 수 있다고 생각합니다. 그런 다음 전체 교차점과 위아래로 물건을 떨어 뜨릴 수 있습니다. 대신 수직 스트로크를 계산하십시오. 귀하의 주장에 따라 각 ” 열 ” 및 경계에서 동일한 숫자 여야합니다. 왼쪽 경계를 제외한 일대일 모든 수직 스트로크를 매핑 할 수 있습니다. 예를 들어, 수직면이있는 모든 타일 (즉, 위의 a + b에서와 같이 두 종류)에 해당 타일을 연결하여 오른쪽 수직 가장자리입니다.
• 아, 당신이 ‘ 맞습니다. 각 방향에 동일한 수의 스트로크가 있다는 것을 알게되면 결과는 쉽게 따라옵니다.

수학적 것보다 더 직관적 인 답변을 게시하고 싶습니다.
이 그림은이를 완벽하게 표현합니다.

흰색, 회색 및 검은 색은 동일한 방향의 다이아몬드를 강조하는 데 사용됩니다. 오른쪽 그림은 이상한 단색을 보여줍니다. 모든 사람이 볼 수있을 것 같습니다.
음, 어떤 구성에서든 검은 색 영역 (흰색과 회색도 마찬가지)이라는 것은 직관적입니다. 바닥의 돌출 부분 (건물 계단이라고도 함), 걸을 수있는 영역은 변하지 않습니다.

댓글

• 내 머릿속에 플립 플롭. 한 순간 검은 색은 ” 위로 “, 다음 순간은 ” down “.하지만이 증거가 마음에 듭니다.
• @Floris 제 의도는 실제로이 문제를 퍼즐로 해결하는 것입니다 (우리 ‘ 퍼즐 링, eheh!), 순수한 수학 작업이 아닙니다.
• 당신은 ‘ 모든 솔루션이 “는 큐브 스택처럼 보입니다. ” 이것이 사실인지 어떻게 알 수 있습니까? 실제로 모든 솔루션이 큐브 스택처럼 보인다고 가정하면 많이 가정 ‘ 증명해 달라는 요청을 받았습니다.
• @Floris : 오, 뒤집힌 것을 보는 데 시간이 좀 걸렸고, 일단 고투해야합니다. 그 해석을 ” 보류 “하면 머리가 아픕니다. 나는 젊었을 때 너무 많은 Q * bert를 연기했다고 생각한다.
• @ leoll2 ‘ 다른 일이 될 수 없다는 것을 ‘ 우리에게 설득하는 것이 ‘입니다. 큐브 스택처럼 보이지 않는 ‘ ‘ 이상한 타일링이 없는지 어떻게 확인할 수 있나요?

여기에 3D에서 영감을받은 증거가 있습니다.

타일로 된 육각형을 가져 와서 수직선.

먼저, 타일의 모양으로 인해 모든 수직선은 육각형의 왼쪽 및 오른쪽과 길이가 같아야하며 그 사이에 간격이있을 수 있습니다.

따라서 이들 중 어느 것도 틈이없고 모두 아래쪽에서 끝나는 경우 전체 타일링은 다음과 같아야합니다 ( “완전히 채워진 큐브”).

각 방향의 타일 수를 변경하지 않고도 다른 타일링을”완전히 채워진 큐브 “로 변환 할 수 있음을 보여줍니다.

먼저, 하단에서 끝나지 않는 수직선 조각을 선택합니다. 다른 두 타일은 모두 세로면을 가지므로 대신 가로 타일에서 끝나야합니다. 바라건대 상황은 다음과 같습니다 ( “코너”) :

하지만 한두 개의 추가 줄이 같은 지점에서 다음과 같이합니다.

그렇다면 그중 하나를 따르세요. 현재 타일에 인접한 다른 수평 타일에 속해야합니다. (사진에서 볼 수 있습니다.) 따라서 선을 따라 가면 다시 같은 상황에 있지만 육각형의 측면 중 하나에 더 가까워집니다 (확실히 세로선이 있기 때문에 종료를 보장합니다. 방금 온). “코너”에 도달 할 때까지 같은 방향으로 계속하세요.

이제 “코너”에 도달 했으므로 “채우기”:

분명히 각 방향의 타일 수는 동일하게 유지되었습니다. 그러나 수직선 조각은 방금 아래로 이동했습니다.

모든 수직선이 맨 아래에서 끝나고 모든 간격이 제거 될 때까지이 알고리즘을 반복하여 “완전히 채워진 큐브”(위 참조)를 만듭니다.

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댓글

• 멋지군요! 또한 모든 타일링이 일련의 ” 코너 채우기 ” 또는 작은 육각형 회전 li에 의해 다른 타일로 변환 될 수 있음을 증명합니다. >
• 예, 3D 해석이 항상 작동한다는 것을 증명합니다. 하지만 ” 타일링을 취하고 다음과 같이 해당하는 3D 구조를 구축하는 것과 같이 훨씬 더 직접적으로 증명할 수 있다고 생각합니다 … ”
• good 🙂 기본적으로 3D 회전. 나는 2d를했다. 퍼즐을 만난 적이 있습니까?

흥미롭게도 이미지를 3D 그래프로 보면 다음과 같이 할 수 있습니다. 각 “얼굴”에는 동일한 수의 타일이 있습니다. 따라서 왼쪽에서 보면 25 개의 정사각형을 볼 수 있습니다. 위쪽, 25 개의 정사각형. 오른쪽, 25 개의 정사각형. 그리고 각 3 개의 방향은면 중 하나에 해당합니다.

댓글

• 이 주장이 설득력이 있지만 현재보고있는 특정 타일링에 대해서만 생각합니다. 가능한 모든 타일링에 대해 착시 현상이 발생하는지 어떻게 확신 할 수 있나요?
• 이 답변은 답을 시각화하는 방법 인 것 같습니다 … 아무것도 증명하지 못합니다.하지만이 방법으로 증명할 수 있습니다.
• 전적으로 동의합니다. 나 ” 알고 ” 이번 주 금요일에 설명하는 것은 저를 넘어 섭니다.

그렇지만 이것은 삼각형 기반이며 표준 증명 일 수 있습니다.

전체 육각형을 삼각형으로 나누고 숫자를 할당합니다. 다음과 같은 (또는 유사) 수직선 :

이제 삼각형 기반 도형 (whi ch는 반드시 타일링 일 필요는 없습니다) 왼쪽 경계에 할당 된 모든 숫자를 더하고 오른쪽 경계에 할당 된 모든 숫자를 빼서 얻은 숫자로 “도”를 정의합니다. 예를 들어

도형은 $ (1-2)-(2 + 2-1-2) =-2의 “도”를가집니다. $.

이제 타일링을 하나씩 만들고 결과 모양의 “정도”를 고려하십시오. 수평 타일을 추가해도 각도는 변경되지 않습니다. 다른 타일 중 하나를 추가하면 각도가 각각 1 씩 증가하거나 감소합니다.

전체 육각형의 차수가 0이므로 표시되는 두 타일의 수가 같아야합니다. 다른 방향으로 대칭으로 반복합니다.

설명

• 육각형을 여러 모양으로 나눌 수 있으며 그 모양의 각도 합계는 0이됩니다.기술적으로 이것은 타일링을 만들 수 있다는 것을 증명해야하기 때문에 대답하지 않습니다 (예를 들어, 돌출을 통해 타일링이 존재한다면 차수가 0이어야 함을 증명했습니다). 그러나이 대답은 증거에 누락 된 부분을 확실히 제공합니다. +1
• 질문을 이해하면 타일링이 항상 존재한다는 것을 증명할 필요가 없습니다. 하지만 물론 그렇습니다. 🙂 (내 첫 번째 답변 참조)
• 가능한 모든 타일링을 만들 수 있는지 확인하려면 내 답변이 필요합니다. 🙂
• 오, 이제 무슨 말을하는지 이해합니다. ” 빌드 “는 다른 것을 의미합니다. 하나의 타일로 시작합니다. 그것이 당신의 첫 번째 모양입니다. 그런 다음 원래 타일링에 도달 할 때까지 타일을 하나씩 추가합니다.
• 아니요, 저에게는 유효한 상태에서 시작하는 것입니다 (하나만 제공해야합니다. ‘ s trivial) 그런 다음 다른 유효한 상태로 남겨 두는 일종의 변환을 적용하십시오. ” 선점 “이 필요하기 때문에 당신이 말한대로 빌드하는 것이 더 어렵습니다. 저는 ‘ 검색을 사용하지 않고 ” 전환 ” 만 추론이 매우 쉽습니다.

열별로 삼각형 격자를 고려해 보겠습니다.

왼쪽 절반의 각 열에는 하나가 있습니다. 오른쪽을 가리키는 삼각형보다 왼쪽을 가리키는 삼각형이 더 많습니다. 오른쪽 절반에는 오른쪽을 가리키는 삼각형이 하나 이상 있습니다.

대각선 마름모꼴은 정확히 하나의 왼쪽을 가리키는 삼각형과 하나의 오른쪽을 가리키는 삼각형에 기여합니다. 열입니다. 무시합시다. 수평 마름모꼴의 일부인 삼각형이 남아 있습니다. 수평 마름모꼴은 한 열에있는 왼쪽을 가리키는 삼각형 (빨간색)과 오른쪽에있는 열에있는 일치하는 오른쪽을 가리키는 삼각형 (녹색)으로 구성됩니다.

우리가 무시하는 삼각형은 한 열에있는 왼쪽을 가리키는 삼각형과 오른쪽을 가리키는 삼각형의 쌍으로 구성됩니다. 따라서 각 열에는 왼쪽 절반에 빨간색 삼각형 하나가 있고 오른쪽 절반에 녹색 삼각형 하나가 초과되어 있어야합니다.

첫 번째 열에는 빨간색 삼각형이 하나 있어야합니다. 하나를 초과하고 녹색 삼각형이있을 수 없습니다. 이 삼각형은 두 번째 열의 녹색 삼각형과 일치합니다. 2 열에는 녹색 삼각형이 1 개 있으므로 빨간색 삼각형이 하나 더 있어야합니다. 즉 2입니다.이 두 개의 빨간색 삼각형은 세 번째 열에 일치하는 녹색 삼각형이 있습니다.

보시다시피 각 후속 열에는 중간 선까지 빨간색 삼각형이 하나 더 있습니다. 중간 선 앞의 마지막 열에는 5 개의 빨간색 삼각형이 있습니다. 가운데 선 오른쪽에 일치하는 녹색 삼각형이 5 개 있습니다. 그러나 여전히 녹색 삼각형이 1 개를 초과하면 빨간색 삼각형의 개수가 4 개로 감소합니다. 여기서부터 각 열마다 개수가 감소합니다. 결과적으로 마름모꼴의 위치에 관계없이 열에있는 빨간색 삼각형은 1,2,3,4,5,4,3,2,1,0 시퀀스를 형성하며 합계는 25입니다.

즉, 항상 25 개의 빨간색 삼각형이 있습니다. 그리고 이것들은 수평 마름모꼴의 절반이므로 25 개의 가로 마름모꼴이 될 것입니다.

회전 대칭으로 왼쪽 대각선과 오른쪽 대각선 마름모꼴에도 동일하게 적용됩니다. 즉, 배치 방법에 관계없이 3 가지 유형의 마름모꼴 각각 25 개가 항상 존재합니다.

QED

이를 증명하려는 시도입니다 .. 마침내 속임수를 사용하기 전까지는 불가능 해 보였습니다.

가능한 변경이 하나 뿐인 유효한 구성에서 시작합니다 (회전 중간에있는 3 개의 세미 라인 : 다른 변경은 동시에 다이아몬드 수를 변경하여 삼각형을 만듭니다.)

한 번 변경 한 후에는 취소 (쓸모 없음, 파란색 표시)하거나 다른 3 가지 변경 (빨간색)을 수행 할 수 있습니다. “변경”을 수행 할 수 있음을 즉시 알 수 있습니다. 첫 번째 이동의 중간 또는 초기 큐브의 중간과 같은 선이있는 점에만 해당됩니다.

두 번째 이동을 수행하면 첫 번째 이동을 취소 할 수 없습니다 (이제 회색). 그렇게하면 삼각형과 다른 모양이 생성되기 때문입니다.

(첫 번째 이동이 시계 방향으로 1/6 라운드라고 가정하면 실행 취소는 시계 반대 방향으로 1/6)

기본적으로 가능한 이동이 3 개의 다이아몬드 (각 방향에 대해 1 개)로 만든 타일 그룹의 회전인지 확인합니다 (2x2x2 “큐브”에서 가능한 모든 이동을 확인하고 사실인지 확인할 수 있음).

따라서 또한 회전은 각 방향의 다이아몬드 수를 동일하게 유지합니다.

증명에서 약간의 누락 된 부분이 있습니다. 첫 번째 큐브부터 가능한 모든 타일링을 수행 할 수 있다는 것을 보여주지 않았습니다. 이는 회전에 “상호 의존성”이 있기 때문입니다. 어떤 시점에서 더 이상 가능한 움직임없이 “내가 멈출 것”인지 알 수 있습니다.

저는 그 증명에 너무 졸려 있지만 다른 증명 방법을 개발했습니다.

“빈”큐브에서 시작하는 열 돌출 :

앞의 열보다 긴 길이로 열을 돌출시킬 수 없음을 알 수 있습니다 (이전 열을 확인하는 두 가지 방향이 있습니다). 삼각형을 얻을 수 있기 때문입니다.

이제 가능한 모든 타일링을 계산할 수 있습니다. 맨 뒤에있는 기둥부터 시작하여 높이를 결정하면 이웃 2 개를 맨 뒤쪽 기둥보다 낮거나 같은 높이로 돌출시킬 수 있습니다. 그 후 다음 3 개 기둥에 대해 동일한 작업을 수행 할 수 있습니다.

있습니다. 여기에서는 회전에 의존하지 않습니다. 번호를 입력 한 다음 동일한 번호 또는 더 낮은 번호를 다시 선택할 수 있습니다. 그것은 훨씬 더 쉽지만 상상의 도움을받습니다 (2 차원 문제의 3 차원).

음, 아마도 그것은 공식적인 증거가 아닙니다. 그러나 상상력을 돕고 문제를 공격하는 두 가지 방법이 있으며 아마도 공식적인 증거로 해결할 수 있습니다. 그러나 나는 증명보다 직감이 더 흥미 롭다고 생각한다. 직감 없이는 어떤 증거도 없을 것입니다.

열쇠는 항상 같은 것 같습니다. 사소한 구성에서 시작하여 가능한 유일한 이동은 각 구성에 대한 다이아몬드 수를 우연히 보존합니다.

P.S :

그 퍼즐을 본 적이 없습니다. 수수께끼의 교환에서 내 첫 번째 답변이 마음에 드셨기를 바랍니다.

삼각형 타일링 에서 다음을 확인할 수 있습니다.

• $ 0 ^ \ circ, 120 ^ \ circ, 240 ^ \ circ $

• 각 마름모는 정확히 한 가지 유형의 선분을 덮습니다.

댓글

• ‘ leoll2가 말한 것을 반복하는 것이 아니라 ” 걸을 수있는 영역이 ” 바닥에서 돌출 된 부분 ” ‘ 변경하지 마십시오 “.
• 그 ‘는 실제로 훨씬 더 나은 증거입니다. 내 대답보다. ‘ 눈에 보이는 모든 줄을 무시하고 대신 보이지 않는 줄에 집중하는 것이 흥미 롭습니다.

$ S $를 육각형의 측면 길이 (다이아몬드 측면 길이)로 할당하고 $ A $, $ B $, $ C $를 $ A $가 키보다 길고 $ B $가 오른쪽 하단 / 왼쪽 상단을 가리키고 $ C $가 왼쪽 하단 / 오른쪽 상단을 가리키는 각 유형의 다이아몬드 수입니다.

The 총 다이아몬드 수 (일명 면적)를 사용하면 다음 방정식을 만들 수 있습니다.

$$ S ^ 2 * 3 = A + B + C $$

$ S = 1 $ 육각형 … 30도 회전 한 동일한 솔루션은 2 개뿐입니다. 360도까지 합산하려면 중앙 부분의 순서대로 3 개의 다이아몬드가 모두 있어야합니다.

위에서 아래로, 오른쪽 위에서 왼쪽 아래로 진행하는 3 개의 경로가 있다고 상상할 수 있습니다. 왼쪽 상단에서 오른쪽 하단으로 이동합니다. 따라가는 경로 (위에서 아래로)에 대한 총 아래로 이동은 $ 2S $와 같아야하지만 왼쪽에서 오른쪽으로 이동은 0이어야합니다. $ A $ 다이아몬드에서 맨 아래로 이동하면 오른쪽이나 왼쪽으로 이동하지 않습니다. $ B $ 또는 $ C $ 다이아몬드에서 아래로 이동하면 각각 오른쪽 또는 왼쪽으로 이동합니다. 모든 경로가 왼쪽이나 오른쪽으로 이동하지 않도록하려면 $ B $ 및 $ C $의 총 수가 같아야합니다. 다른 모서리 쌍이 위 / 아래를 가리 키도록 그래프를 60도 회전하면 $ A $ 및 $ B $ 또는 $ A $ 및 $ C $에 대해 표시 할 수 있습니다.

댓글 h3>

• 이 3 가지 경로의 출처에 대해 좀 더 자세히 설명해 주시겠습니까? 가능한 경로 (위에서 아래로)가 여러 개 있습니까? 아니면 타일링에 따라 고유합니까? 다이아몬드에서 인접한 다이아몬드로 뛰는 폰인가 아니면 가장자리를 따라가는 개미인가?
• 벡터 덧셈입니다 …. 등없이 코너에서 반대쪽으로 진행하는 모든 경로를 말합니다. 추적. 가장자리를 따라가는 개미입니다.
• 명확하게 말하면 B = C를 따르지 않는 경로가 없으므로 모두 추가하고 B = C

정확한 답변인지는 모르겠지만 피곤합니다.

n = 한 변의 삼각형 수. 수정을 터치하는 다이아몬드 가져 오기 : n + 1 인접 가장자리 단위 (1 점에서만 계산되지 않음) : 적어도 하나의 다이아몬드는 달라야합니다. 다른 사람에게서. 모퉁이에서 모든 변화가 일어나고 다른 모퉁이에서 변화가 일어나도록하십시오.우리는 측면 길이가 n-1 인 육각형을 포함 할 수있는 루프를 만들었으며 각 종류의 다이아몬드 수는 동일합니다. 인덕션을 n = 1로 줄였습니다. 여기서 분명히 동일합니다.

이제 육각형 외부 루프가 “변경은 모서리에서만 발생”정책에서 벗어나도록합니다. 바깥 쪽 가장자리에 인접한 다이아몬드를 모두 특정 색상 (예 : 검은 색)으로 색칠하고이 루프에서 튀어 나온 다이아몬드는 흰색으로 둡니다. 이제 우리는 n-1의 또 다른 (확실히 끊어진) 루프를 둘러싼 끊어진 루프를 볼 수 있습니다. 이 내부 루프의 색상을 두 번째 색상으로 지정하고 다시 모든 반란군을 흰색으로 둡니다. n = 1 육각형까지이 작업을 수행 한 다음 방향별로 반란군을 색칠하세요.

이제 내 다이어그램을 보면 안쪽의 보라색 육각형이 실제로 주황색과 분홍색 대신 하단에 빨간색 타일을 원합니다. . 이것이 모자이크라고 상상해보십시오. 빨간색 타일과 중앙에있는 주황색 및 분홍색 반군을 찢고 거기에 빨간색 타일을 놓습니다. 보라색 육각형은 이제 행복합니다. 이제 녹색 육각형을 행복하게 만드십시오 (다른 모든 모서리에서만 변경됨) .– 아래쪽 옆쪽 다이아몬드는 자주색 육각형 주위에 맞도록 두 개의 기울어 진 다이아몬드가되기를 원합니다 .– 주황색과 분홍색 타일을 측면에 추가하고 녹색 타일을 배치합니다. 아까에서 빨간 타일을 훔친 곳마다. 우리가 “최적의 육각형”에 도달 할 때까지이 과정이 계속 될 수 있다는 것이 분명하다고 생각합니다.하지만 제 뇌는 이것을 확실히 증명하기에는 너무 튀었습니다.

편집 : 저는이 두 가지가 사실이라고 믿습니다. 1. 최적화되지 않은 육각형을 선택하면 모든 동심원 루프가 불행해질 것입니다. 2. 불행한 루프를 고치는 것은 반드시 제거 된 모자이크 타일의 “손”에 타일을 추가합니다. 3. 가장 안쪽 육각형을 고치려면 적절한 반란군을 제거하십시오.

이 두 가지를 염두에두고, 우리가 헥스를 고치고 싶지만 제거 된 타일의 “손”에 타일을 가지고 있지 않을 것입니다. 종류는 n = 1 루프에 필요합니다.

긴 증명이 필요하지 않습니다. 3D를 생각해보십시오.

일부 큐브가 방 한 구석에 고정되어 있다고 상상해보십시오. 세 방향은 모든면에서 동일한 수의 얼굴을 볼 필요가 있기 때문에 우리가 보는 얼굴입니다.

댓글

• 번호 매기기 증명도 있습니다. 모서리에 두 개의 0을 넣고 3 개의 방향이 항상 -1,0 및 1이되도록 숫자를 구성합니다. 행 단위로 행을 추가하면 총합이 0이됩니다. 따라서 X (1) + Y (0) + Z (-1) = 0 이는 X = Z를 의미합니다. 이제 번호 매기기를 120degress와 유사한 인수로 회전합니다. X = Y 이것은 증명을 완료합니다.
• 불행히도 이것은 본질적으로 leoll2에 의해 이미 주어진 대답과 동일하며 Sebastian Reichelt 대답에서 증명되었습니다. 댓글에 언급 한 증거는 이미 Sebastian Reichelt 두 번째 답변에 게시되었습니다.

순서대로 이 원리를 증명하기 위해 Pascal 프로그래밍을 통해 다양한 다이아몬드 레이아웃을 생성하고 다양한 색상을 통해이 2D 포장 문제가 3D 모델 생성 문제가되었으며 이러한 모델은 도시 계획 또는 건축과 매우 유사하다는 것을 알 수 있습니다. 타워와 연단의 배치에 대한 시험 계산. 또 다른 특징은 생성 된 3 차원 모델이 큰 윗부분과 작은 아랫 부분이없고 안정적인 직육면체 레이아웃이라는 것입니다. 2 차원 문제에서 3 차원 레이아웃으로 ” 업그레이드 “. 일반

댓글

• 문제의 주장을 어떻게 증명합니까?