정확도가 낮지 만 간단합니다. 답변

행성의 방사형 정렬 구성 만 계산할 수 있습니다.

근사치를 원하면 행성의 위치를 근사한다고 가정 해 보겠습니다. 시계에 손을 대면 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

$ \ theta_i $가 $ t_0 $ 시간에 $ i $ 행성의 초기 각도라고 가정합니다. $ l_i $는 행성 $ i $에 대한 연의 길이 (일)입니다.

그런 다음이 연립 방정식을 풀기 시작합니다.

$$ x \ equiv \ theta_i \ left (\ mod \ l_i \ right) $$

여기에서 간단히 중국어 나머지 정리 를 적용합니다.

최소 x를 구하면 $ t_0 $의 각도가 $ \ theta_i = 0 $ 인 행성이 정렬 구성에 도달 할 때까지 이동했을 각도를 알 수 있습니다. ㅏ 언급 된 행성으로 지구를 선택한 다음 그 각도를 완전한 회전 ($ 360 ^ {o} $)으로 나누면 $ t_0 $ 구성에서 해당 구성에 도달 할 수있는 년 수를 얻을 수 있습니다.

2014 년 1 월 1 일의 모든 행성에 대한 다른 $ \ theta_i $-$ t_0 $ :

\ begin {align} 수성 & \ quad 285.55 \\ Venus & \ quad 94.13 \\ Earth & \ quad 100.46 \\ Mars & \ quad 155.60 \\ Jupiter & \ quad 104.92 \\ Saturn & \ quad 226.71 \ \ Uranus & \ quad 11.93 \\ Neptune & \ quad 334.90 \ end {align}

출처

모든 행성에 대한 일별 $ l_i $ :

\ begin {align} 수성 & \ quad 88 \\ Venus & \ quad 224.7 \\ Earth & \ quad 365.26 \\ Mars & \ quad 687 \\ Jupiter & \ quad 4332.6 \\ Saturn & \ quad 10759.2 \\ Uranus & \ quad 30685.4 \\ Neptune & \ quad 60189 \ end {align}

마지막으로 정수 값 근사화 및 이

정답은 “ 절대 “입니다. 원인. 첫 번째 Florin의 의견에서 지적했듯이 행성의 궤도는 동일 평면이 아니므로 정렬 할 수 없습니다. , 비록 각 행성이 궤도면에 임의로 배치 될 수 있더라도. 두 번째 , 행성의 기간이 비교할 수 없기 때문에 순수한 방사형 정렬 조차도 발생하지 않습니다. 비율은 유리수가 아닙니다. 마지막으로 행성의 궤도는 주로 상호 중력으로 인해 수백만 년에 걸쳐 진화합니다. 손잡이. 이 진화는 (약하게) 혼란 스럽기 때문에 오랜 시간 동안 예측할 수 없습니다.

harogaston의 잘못된 답변 은 본질적으로 궤도주기를 다음과 같이 추정합니다. 가장 가까운 칭찬 할 수있는 숫자로 매우 오랜 시간이 걸렸습니다 (단지 $ 10 ^ {16} $의 요소로 틀렸음에도 불구하고).

훨씬 더 흥미로운 질문 (그리고 아마도 실제로 관심이 있었던 질문 일 것입니다.) )는 8 개의 행성이 방사형으로 거의 정렬 하는 빈도입니다. 여기서 “ 거의 “는 단순히 “ 태양에서 본 $ 10 ^ \ circ $ 이내 “를 의미 할 수 있습니다. 그러한 경우, 행성의 상호 중력이 정렬되어 평균보다 더 강한 궤도 변화를 초래합니다.

두 개 이상의 행성의 공통주기에 대한 추정치 (즉, 얼마나 많은 시간이 지난 후 태양 중심 경도로 다시 정렬됩니까?)는 완벽한 정렬에서 얼마나 많은 편차가 허용되는지에 따라 매우 크게 달라집니다.

행성 $ i $의 기간이 $ P_i $이고 허용 가능한 편차 시간 이 $ b $ ($ P_i $와 동일한 단위)이면 합산 기간 $ P $ 모든 $ n $ 행성은 약 $$ P \ approx \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ {n-1}} $$이므로 허용 편차를 10 배로 줄이면 공통주기를 $ 10 배 증가시킵니다. ^ {n-1} $, 8 개 행성의 경우 10,000,000의 계수입니다. 따라서 허용 가능한 편차의 양을 지정하지 않으면 공통 기간을 인용하는 것은 의미가 없습니다. 허용 가능한 편차가 0으로 감소하면 ( “완벽한 정렬”을 달성하기 위해) 공통 기간이 무한대로 증가합니다. 여러 주석가 “는 기간이 일치하지 않기 때문에 공통 기간이 없다고 진술합니다.

행성에 대해”기간은 harogaston에 의해 나열되며 $ \ prod_i P_i \ approx 1.35 \ times10 ^ 6 $ 때 $ P_i $ 각각 365.25 일의 율리우스 력으로 측정되므로 $ b $도 연도 단위로 측정되는 경우 연 단위의 공통 기간은 약 $$ P \ approx \ frac {1.35 \ times10 ^ 6} {b ^ 7} $$입니다. 기간이 근사치 인 경우 $ b \ 약 0.00274 $ 년 및 $ P \ approx 1.2 \ times10 ^ {24} $ 년입니다. 기간이 근사값 인 0.01 일인 경우 $ b \ approx 2.74 \ times10 ^ {-5} $ 및 $ P \ approx 1.2 \ times10 ^ {38} $ 년.

위 공식의 유도는 다음과 같습니다.

기존 단위의 배수로 행성주기 “$ b $ : $ P_i \ approx p_i b $ 여기서 $ p_i $ 은 정수입니다. 그러면 공통 기간은 최대 $ p_i $의 곱과 동일합니다. 해당 제품은 여전히 $ b $ 단위로 측정됩니다. 원래 단위로 돌아가려면 $ b $를 곱해야합니다. 따라서 , 공통 기간은 약 $$ P \ approx b \ prod_i p_i \ approx b \ prod_i \ frac {P_i} {b} = b \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ n} = \ frac {\ prod_i P_i}입니다. {b ^ {n-1}} $$

위의 유도는 $ p_i $가 $ \ prod_i p_i $가 제안하는 것보다 빨리 정렬되도록하기 위해 $ p_i $가 공통 인자를 가질 수 있다는 것을 고려하지 않습니다. 그러나 두 $ p_i $에 공통 인자가 있는지 여부는 선택한 기본 기간 $ b $에 따라 크게 달라 지므로 사실상 랜덤 변수이며 $ b $에 대한 $ P $의 글로벌 종속성에 영향을주지 않습니다.

시간 이 아닌 각도 로 허용 가능한 편차를 표현하면 허용 가능한 편차의 크기에 따라 다음과 같은 답변을 얻을 수 있습니다. 위의 공식에 대해 강력하게.

$ P $ 그래프는 http://aa.quae.nl/en/reken/periode.html 를 참조하세요. 명왕성을 포함한 모든 행성에 대해 $ b $의 함수로 표시됩니다.

편집 :

다음은 각도 측면에서 허용 가능한 편차가있는 추정치입니다. 모든 행성이 첫 번째 행성의 경도를 중심으로 너비 $ δ $의 경도 범위 내에 있어야합니다. 첫 번째 행성은 자유 롭습니다. 우리는 모든 행성이 같은 방향으로 태양 주위를 공평한 원형 궤도로 이동한다고 가정합니다.

행성이기 때문입니다. ” 기간은 비례하지 않으며 행성의 모든 경도 조합은 동일한 확률로 발생합니다. 특정 시간에 행성 $ i > 1 $의 경도가 행성 1의 경도를 중심으로 한 폭 $ δ $ 세그먼트 내에있을 확률 $ q_i $는 동일합니다. ~ $$ q_i = \ frac {δ} {360 °} $$

행성 2에서 $ n $까지 모두 1 행성 중심에있는 동일한 경도 세그먼트 내에있을 확률 $ q $는 $입니다. $ q = \ prod_ {i = 2} ^ n q_i = \ left (\ frac {δ} {360 °} \ right) ^ {n-1} $$

이 확률을 평균 기간, 모든 행성이 정렬 될 때마다 모든 행성이 정렬되는 시간 ($ δ $ 이내)을 추정해야합니다.

상호 정렬을 잃은 처음 두 행성이 가장 빠르고 가장 느립니다. 행성의. 만약 그들의 시노 딕 기간이 $ P _ * $이면, 그들은 $$ A = P_ * \ frac {δ} {360 °} $$ 간격 동안 정렬 된 다음 다시 정렬되기 전에 일정 시간 동안 정렬되지 않을 것입니다. 따라서 모든 행성의 각 정렬은 약 $ A $ 간격으로 지속되며 모든 정렬은 함께 전체 시간의 $ q $ 부분을 차지합니다. 모든 행성의 또 다른 정렬이 발생하는 평균 기간이 $ P $이면 $ qP = A $ 여야합니다. 따라서 $$ P = \ frac {A} {q} = P_ * \ left (\ frac {360 °} {δ} \ right) ^ {n-2} $$

행성이 두 개뿐이면 $ δ $에 관계없이 $ P = P _ * $로 예상 한 것입니다.

행성이 많으면 가장 빠른 행성이 많습니다. 가장 느린 것보다 빠르기 때문에 $ P _ * $는 가장 빠른 행성의 궤도주기와 거의 같습니다.

여기서도 연속 정렬 사이의 평균 시간에 대한 추정치는 매우 선택한 편차 한계에 민감하므로 (두 개 이상의 행성이 관련된 경우) 이러한 결합 된 기간을 인용하는 것은 의미가 없습니다. 어떤 편차가 허용되었는지도 언급하지 않으면

또한 행성이 두 개 이상인 경우 이러한 모든 (근접) 정렬이 정기적으로 발생하지 않는다는 점을 기억하는 것이 중요합니다. 간격.

이제 숫자를 연결해 보겠습니다. 8 개의 행성을 모두 경도 1도 이내로 정렬하려면 두 정렬 사이의 평균 시간은 대략 가장 빠른 행성의 $ P = 360 ^ 6 = 2.2 × 10 ^ {15} $ 궤도와 같습니다. 태양계의 경우 수성은 가장 빠른 행성이며 기간은 약 0.241 년입니다. 따라서 8 개 행성 모두의 두 정렬 사이에서 경도 1도 이내까지의 평균 시간은 약 $ 5 × 10 ^ {14} $ 년입니다.

경도 10도 이내의 정렬이 이미 만족 스러우면 두 정렬 사이의 평균주기는 대략 수성의 궤도 $ P = 36 ^ 6 = 2.2 × 10 ^ 9 $와 같습니다. 이는 약 5 억년입니다.

앞으로 1000 년 동안 기대할 수있는 최상의 정렬은 무엇입니까? 1000 년은 약 4150 개의 수성의 궤도이므로 $ (360 ° / δ) ^ 6 \ approx 4150 $이므로 $ δ \ approx 90 ° $입니다. 무작위로 선택한 1000 년 간격 동안, 평균적으로 8 개 행성 모두가 90 ° 세그먼트 내에 정렬됩니다.

이를 수행하는 훨씬 더 쉬운 방법이 있습니다.

1) 지구의 날로 태양 년의 길이를 찾으십시오.

2) 다음과 같이 년의 길이를 곱하십시오 : 수성 년 * 금성 년 * 지구 년 * 화성 년 * 목년 * 토성 년 * 천왕성 년 * 해왕성 년

3) 365로 나누면 지구 년이 구해집니다.

그리고 다시 세로로 정렬 될 때가 있습니다 (각도를 의미 함). 다를 수 있지만 평면도에서 보면 선을 형성합니다). 이러한 행성 중 일부는 연도에 지구의 십진수 일수가 있기 때문에 더 높은 빈도로 정렬되지 않습니다.

댓글

• 4) 당신이 얻은 숫자가 태양계의 Lyapunov 시간 보다 훨씬 크므로 의미가 없음을 인식하십시오.

기술적으로 8 개 행성 모두의 정렬 사이의 기간을 찾는 진정한 방법은 8 개 행성의 연도 길이에 대한 LCM을 찾는 것입니다.

LCM (88, 225, 365, 687, 4333, 10759, 30685, 60189) = 814252949520007202031000.이 값은 가장 가까운 정수로 반올림되기 때문에 대략적인 추정치라는 것을 이해하지만 좋은 아이디어를 제공합니다. 소요일 수입니다.

814252949520007202031000/365 = 2230829998684951238441. 이것이 몇 년입니다.

댓글

• 이것은 Caters ‘ s answe에 설명 된 것과 동일한 방법 인 것 같습니다. r .