제 질문은 유형 II 오류 $ \ beta $를 계산하는 방법입니다.
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테스트하고 싶다고 가정 해 보겠습니다. $ H_0 : \ mu = 0 $ vs $ H_1 : \ mu = 1 $ (제 2 종 오류 $ \ beta $를 계산해야하므로 $ H_1 $에서 $ \ mu $, 예를 들어 1을 수정해야합니다).
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$ H_0 $의 분포가 $ F_0 $이고 $ H_1 $가 $ F_1 $이고 $ \ xi \ sim 인 경우 $ E [\ xi] = 0 $라고 가정합니다. F_0 $, $ E [\ xi] = 1 $ if $ \ xi \ sim F_1 $.
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이제 $ \ mu $에 대한 추정량 (예 : $ \ bar {X} _n $)과 테스트 통계 $ S_n = \ frac {\ bar {X}를 만듭니다. _n-E [F_0]} {\ sigma} = \ frac {\ bar {X} _n-0} {\ sigma} = \ frac {\ bar {X} _n} {\ sigma} $ ($ \ sigma $가 알려져 있음).
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이제 거부 ($ H_0 $) 규칙을 만듭니다. $ S_n > b $.
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유형 II 오류는 $ P_ {F_1} (S_n > b) $
로 계산됩니다.
제 질문은 다음과 같습니다 (세 가지를 확인하고 싶습니다) :
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위의 구성 논리가 맞습니까?
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“$ P_ {F_1} (S_n > b) $”의 분포는 $ F_1 $입니다. 맞죠?
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[주요 관심사] “$ P_ {F_1} (S_n > b) $”의 $ S_n $는 $ F_0 $를 사용하여 계산해야합니다.
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제 말은 제 1 종 오류나 제 2 종 오류에 상관없이 테스트 통계를 계산하려면 항상 $ F_0 $를 사용해야 하죠?
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내 말은 $ S_n $는 제 1 종 또는 제 2 종 오류 계산에서 항상 $ \ frac {\ bar {X} _n-E [F_0]} {\ sigma} $입니다. $ \ beta $를 계산할 때 $ \ frac {\ bar {X} _n-E [F_1]} {\ sigma} $가 아닙니까?
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또는, 테스트 통계는 샘플의 기능 일 뿐이며 매개 변수를 포함하지 않아야하므로 문제가되지 않습니다.
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댓글
- 유형 II 오류는 귀무 가설이 거짓 인 경우, 즉 $ H_1 $가 참일 때 거부하지 않는 것입니다. $ F_1 $를 사용하여 P를 계산해야하지만 $ P_ {F_1} (S_n > b) $를 작성 했으므로 $ F_0 $를 사용해야한다고 생각합니다. $ H_1 $ 매개 변수 및 Type II $ \ beta $ = 1-power
- 감사합니다! 당신이 옳습니다. 제가 실수를. 유형 II 오류의 경우 $ P_ {F_1} (S_n \ le b) $입니다.
답변
$ \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = \ mu_0, \ sigma = \ sigma_0) $는 귀무 가설 하의 분포이고 $ \ mathcal {F} ^ {(1)} (\ mu = \ mu_1, \ sigma = \ sigma_1) $가 $ H_1 $ 미만이므로 테스트 통계 $ X $가 있고 테스트하려고합니다.
$ H_0 : X \ sim \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = 0, \ sigma = \ sigma_0) $ 대 $ H_1 : X \ sim \ mathcal {F} ^ {(1)} (\ mu = 1, \ sigma = \ sigma_1) $
설명하는 방식에 따라 단측 테스트를 수행하고 오른쪽 꼬리에 임계 영역을 정의합니다. 따라서 신뢰 수준 $ \ alpha $를 선택한 후 $ \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = 0, \ sigma = \ sigma_0) $ 분포를 사용하여 분위수 값 $ q_를 찾습니다. $ P ^ {(0)} (X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)}) = \ alpha $와 같은 {\ alpha} ^ {(0)} $ (연속 분포를 가정합니다). 수퍼 인덱스 $ (0) $는 확률이 $ \ mathcal {F} ^ {(0)} $, 에서 측정되므로 null 분포 $ \ mathcal {이 필요함을 나타냅니다. F} ^ {(0)} $-임계 영역, 즉 분위수 $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ 를 정의합니다.
샘플에서 임의 변수 $ X $에 대한 $ x $ 결과를 관찰 할 수 있으며 $ x \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ 일 때 null이 거부됩니다. 즉, 테스트에서 $ H_1 \ textrm {이 참으로 결정됨} \ iff x \ in [q _ {\ alpha} ^ {(0)}; + \ infty [$.
테스트의 힘은 $ H_1 $이 $ H_1 $가 참일 때마다
, 따라서 거듭 제곱은 $ H_1 $가 참일 때마다 $ X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ 확률입니다. 이것은 실제 분포가 $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ 또는 거듭 제곱 $ \ mathcal {P} $는
$ \ mathcal {P} = P ^ {(1)} (X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0) }) $
여기서 수퍼 인덱스 $ (1) $는 확률이 $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ 에서 계산됨을 나타냅니다. 따라서 검정력은 $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $로 측정되지만 $ \ mathcal {F} ^ {로 계산되는 $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $의 값이 필요합니다. (0)} $.
전력 $ \ mathcal {P} $를 사용했고 유형 II 오류 $ \ beta $는 $ \ beta =입니다. 1- \ mathcal {P} $.
귀하의 경우
“”의 분포 “$ P_ {F_1} (S_n > b ) $ “는 $ F_1 $” “입니다.
그러나 $ b $를 찾으려면 $ F_0 $를 사용해야합니다. 실제로 $ b $는 $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $