삼각법을 배우는 데 가장 좋은 리소스는 무엇입니까? 저는 최근에 대학에서 수학 학사 학위를 받기로 결정했습니다. 저는 제 자신을 가르치기 시작할 때까지 모든 수학 수업에서 D “또는 F”를 통과하지 못했으며 지금까지 일관된 A “를 얻기 위해 기하학, 대수 등을 충분히 가르쳤습니다. 그러나 삼각법을 공부 한 후 처음 며칠 동안 이미 그 경험이 실망 스러웠 음을 느꼈습니다 (지금까지 약 3 권의 책을 시도했지만 여전히 첫 번째 장을 이해하는 데 어려움을 겪고 있습니다). 물론 미적분과 그 이상을 잘하기 위해서는 이것을 극복해야합니다.
저는 개인적으로 다운로드하거나 선택할 수있는 교과서 권장 사항을 선호합니다. 이것은 오래되지 않았고 삼각법이 접근하기 어렵게 만들지 않습니다 (특히 속성 / 이론 뒤에있는 증명을 이해하는 것을 강조하는 것). 저도 추천하는 온라인 강의 나 동영상 시리즈는 괜찮습니다.하지만 제 경험을 바탕으로 교과서에 의존하여 가장 잘 배우는 것 같아요.
또한 저를 테스트하기 위해 추천하는 플랫폼을 원합니다. 삼각법 기술 (저는 자신을 테스트하기 위해 교과서 뒷면의 이상하거나 심지어 문제에 대한 답을 찾기 위해 계속해서 페이지를 넘기는 것에 의존하고 싶지 않습니다), 가급적 저렴하거나 무료 인 것이 좋습니다. 현재 칸 아카데미 웹 사이트를 사용하고 있지만 여러 가지 이유로 나에게 적합하지 않습니다.
댓글
- 삼각법은 미적분에 필요한 것의 작은 부분! 저는 ‘ 차라리 기능에 집중할 것을 제안합니다.
- 정말인가요? 제가 ‘ 이미 대수, 특히 기능에 능숙하기 때문에 이런 종류의 저를 안심시킵니다. 합리적인 분해, 함수 구성, 로그 등으로 매우 편안합니다. 저는 ‘ 한동안 trig에 대해 걱정했습니다. 드디어 좋은 삼각법 교과서를 찾았고 지금 상황이 이치에 맞습니다!
- 이 경우 모든 책에 포함 된 500 개의 공식이 아닌 몇 가지 삼각법, 기본 사항을 배워야합니다.
- 더 나은 답변을 제공 할 수있었습니다. 어떤 주제로 인해 혼란 스럽거나 혼란 스러웠는지 알고있었습니다. 나는 일반적으로 더 많이 이해하고 덜 암기하는 팬이지만, 삼각법을 사용하면 기본 정의를 외울 필요가 있습니다.
- @JessicaB 새로운 교과서를 선호하는 이유는 새로운 교과서 스타일을 좋아하기 때문입니다. 나는 1900 년대부터 몇 가지를 시도해 보았지만 언어와 시각 자료가 내가 기대했던 것만 큼 매력적이거나 적합하지 않은 것이 ‘ 밝혀졌습니다. 최신 교과서에는 하이퍼 링크 (특히 하이퍼 링크 목차), 글꼴 조정, 인터랙티브 비주얼 등 기존 교과서에는 온라인에없는 깔끔한 기능이있는 경우가 많습니다. ‘ li>
답변
Schaum의 개요는 일반적으로 매우 실용적이고 저렴합니다. 고학년 학습자에게 적합합니다. 답은 문제 바로 뒤에서 끝까지입니다. 그리고 홀수 / 짝수 집이 아닌 모든 답을 얻습니다. 따라서 자기 학습에 적합합니다.
나는이 문제를 전반적으로 좋아하고 소유합니다. https://www.amazon.com/gp/product/0070026505/ref=dbs_a_def_rwt_hsch_vapi_taft_p1_i10
1960 년대부터 사용되었으므로 언어는 구식이 아니지만 그렇지 않습니다. “새로운”. 최신 버전에서 원하는 언어 이외의 이점이 무엇인지 확실하지 않지만 최신 버전을 원한다면 최근 4 판 College Math를 대신받을 수 있습니다.
참고, 이것은 일반적인 사전 계산입니다. 책 (그리고 아마도 필요한 것). 하지만 trig 입문서를 원한다면 Schaum s도 그것도 가지고 있습니다. 분명히 precalc 책 (모든 일반 고등학교 과정을 다룹니다)보다 trig 책에 더 많은 trig 문제가 있습니다.
Ps 어떤 책이 당신에게 실패했는지 알려주었다면 조언하기가 더 쉽습니다. 내가 헛되이 긴 답을 썼던 것처럼 요?
Pss 왜 trig가 사람들에게 그렇게 많은 장애물인지 잘 모르겠습니다. 그러나 나는 삼각형의 변의 비율이 아닌 단위 원의 맥락에서 죄와 cos 등에 대해 먼저 생각할 것을 권장합니다. 추적 할 비율이없는 좀 더 단순한 개념입니다.
https://www.khanacademy.org/math/algebra2/x2ec2f6f830c9fb89:trig/x2ec2f6f830c9fb89:unit-circle/v/unit-circle-definition-of-trig-functions-1 (Kahn은 여기서 비율에 대해 이야기함으로써 좀 더 복잡하게 만들었습니다.하지만 제가 그것을 배웠을 때 큰 이점은 비율이없는 첫 도입이었습니다 … 단지 단위 원의 x 및 y 축입니다.
댓글
- 답장을 보내 주셔서 감사합니다. ‘ 맞습니다. 어떤 책에 대해 언급 했어야 했어요. 3 권 Lial, Miller, Hornsby의 Trigonometry, 5th edition, 1993., Trigonometry Workbook for Dummies by Mary Sterling 및 College Trigonometry by Stitz and Zeager, 2013. I ‘ 사전 계산을 시작합니다. 여름이 끝나면 ‘ ‘ 곧 삼각법에 익숙해 지리라 확신합니다. 저는 다음에서 충분히 배우고 싶습니다. 그동안 너무 많은 충돌없이 첫 코스를 마쳤습니다.
- 많은 문제를 해결해야합니다. ” ‘ 알 수 없음 ” 느낌이들 수 있습니다. 그러나 많은 문제를 일으킨다면 머리 속으로 들어가게됩니다. 그리고 작업 문제는 답을 덮고 문제를 끝까지 해결하는 것을 의미합니다. 답을 확인하고 있습니다. 처음부터 누락 된 모든 문제를 (완전히) 반복합니다 (어리석은 사인 오류에도 불구하고). 스포츠를위한 신체 훈련이나 악기 배우기처럼 취급하십시오. 부지런히하십시오.
- @RustyCore 분명히 말씀 드리면 저는 ‘ 지역 대학에서 편입합니다. 내가 대학에서 전공 한 것은 수학과 관련이 없었고 수학 요건이 거의 없었기 때문에 대학에서 첫 번째 수학 수업은 precalc였습니다.
- @guest, 이해합니다. 하지만 Rusty는 주제 넘고 무례하다고 생각합니다. 저는 ‘이 학위를 취득하는 것이 아마도 제 인생에서 가장 힘들고 스트레스를받는시기라는 것을 잘 알고 있지만 ‘ 제가 ‘ 한 가지 주제로 어려움을 겪고 있기 때문에 자신을 차단합니다. 대부분의 사람들은 장애물에 직면했을 때 그만두고 ‘ 그냥 수학을 좋아하지 않는다고 말하고 즉시 추가 수학이나 재교육이 필요한 기본 사항을 차단합니다. 저는 ‘ 정확히 지난 몇 년 동안 그랬기 때문에 그것을 피하려고 노력하고 있습니다.
- @Lex_i, 당신은 성숙한 학생처럼 들리며 많은 학생이 있습니다. 뛰어난 당신처럼. 수학에서의 모험이 즐거웠기를 바랍니다.
답변
시각적 접근이 연구를 보완 할 수 있을까요? 교과서가 아닌 웹에서 이러한 리소스를 많이 사용할 수 있습니다. 예 : 직관적으로 트리거 :
참고 : 라벨은 각 항목이 . ”
또 다른 : 대화 형 유닛 서클 . 기타 : 역 삼각 함수 .
댓글
- it ‘ 유용한 다이어그램입니다. 혼동을 방지하기 위해 유사한 삼각형 개념이 사용되고 있다는 면책 조항을 추가하겠습니다.
- 각도를 보여주고 모든 기능이 어떤 기능인지를 보여주는 다이어그램이 더 도움이 될 것이라고 생각합니다. . ‘는 삼각법을 처음부터 배우기위한 것이 아니라 이미 알고있는 것을 기억하도록 설계된 것 같습니다.
- @JessicaB : 첫째, 내 다이어그램이 아닙니다. -). 둘째, 그것과 함께하는 내러티브가 있습니다. 단독으로 사용하기위한 것이 아닙니다. 셋째, 예를 들어 $ \ sin \ le \ tan $ 및 $ \ sec \ ge \ tan $ 및 $ \ tan $ 등이 제한되지 않을 수 있음을 확인하는 것이 유용합니다.
- @ JessicaB : 추신. 각도는 원의 중심에있는 각도로, 안타깝게도 제 스냅 샷에서는 거의 보이지 않습니다.
- @JosephO ‘ Rourke id = “6fa1d51b80”>
그리지 마십시오. 그리고 저는 삼각법을 알고 있기 때문에 각도가 중앙에 있다는 것을 압니다. 하지만 처음 발견했을 때 각도와의 관계를 파악하지 못했기 때문에 ‘ 매우 혼란 스러웠습니다.
답변
개인적으로는 오래되지 않았으며 [바람직하게] 다운로드하거나받을 수있는 교과서 권장 사항을 선호합니다. 삼각법이 접근하기 어렵게 만들지 마십시오 (특히 속성 / 정리이면의 증명을 이해하는 것을 강조하는 것).
권장 할 교과서가 없습니다. div를 구체화하여 수학적 이해를 용이하게하는 삼각법을 수행하는 방법을 권장합니다. > 논리적 삼각법의 기초와 대수 삼각법 식의 구조입니다. 이것에 대한 두 가지 “수준”, 당신이 바로 완료하기를 원하는지 여부에 따라 ex 숫자 또는 실제 삼각법 내에 머물러 있습니다. 두 경우 모두 삼각법의 내재 핵심을 식별하고 그 밖의 모든 것을 줄이는 데 중점을 둡니다.
실수 삼각법
주요 수량은 $ \ cos (t) $ 및 $ \ sin (t) $ : $ x $ 및 $ 길이가 $ t $ 인 호를 대체하는 단위 원에서 점 $ P_t $ 의 y $ 좌표 wikipedia 의 이미지에 표시된대로 $ x $ 축에서 시계 반대 방향으로 a> :
여기서 호 길이는 단위 원을 따라 측정되며 $ π $ 는 정의됩니다. 는 반원의 호 길이이므로 $ 2π $ 는 $ 360입니다. ° $ . (이러한 각도 측정 방법은 종종 ” 라디안 “에서 측정이라고 부르지 만 개인적으로 불필요한 용어라고 생각합니다.) 참고 모든 정수 $ k $ 에 대해 $ P_t = P_ {t + 2πk} $ 입니다. = “math-container”> $ 2πk $ 는 전체 라운드의 정수 배수입니다. 또한 $ t $ 를 늘리면 $ P_t $ 가 시계 반대 방향으로 이동하고 $ t $ 는 $ P_t $ 를 시계 방향으로 이동합니다. 이와 관련하여 $ P _ {-t} $ 는 $ P_t $ 의 $ x $ -축.
$ \ cos (t) $ 및 $ \ sin (t) $ 는 $ x $ 및 $ y $ 원에있는 점의 좌표입니다. (어떤 사분면에서 어떤 것이 긍정적인지 판단하기 위해 무언가를 외우라고하는 사람들의 말을 듣지 마십시오.)
그리고 정의상 $ \ cos ( t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2 = 1 $ 모든 실제 $ t $ . 이것이 첫 번째 주요 대수적 사실입니다 .
다음, $ \ tan (t) $ 는 를 $로 정의합니다. \ sin (t) / \ cos (t) $ . (역사적으로 $ \ sec (t) : = 1 / \ cos (t) $ 및 $ \ csc (t) : = 1 / \ sin (t) $ 및 $ \ cot (t) : = 1 / \ tan (t) $ , 그러나 솔직히 $ \ cos, \ sin $ 만으로 충분할 때 그렇게 많은 것을 갖는 것은 거의 이점이 없습니다.) $ \ cos, \ sin, \ tan, \ sec, \ csc, \ cot $ , 아마도 의 표준 수학적 기법을 수행해야합니다. 표준 형식으로 다시 작성 .이 경우 $ \ cos, \ sin $ 만으로 다시 작성하는 반면 원래 표현식이 정의되지 않은 위치를 기록합니다 (예 : 실제 pan class = “의 경우 $ 1 / \ csc (t) = \ sin (t) $ ) math-container “> $ t $ 는 $ t $ 가
기타 주요 대수적 사실 는 벡터에 적용된 회전 행렬을 고려할 때 발생합니다. (벡터의 연산자로서 행렬에 익숙하지 않은 경우 먼저 이 를 읽어보십시오. 유클리드 공간의 벡터에 대한 소개는 여기 .) $ R $ 을 평면의 원점에 대한 회전이라고하겠습니다. 그러면 $ R $ 가 다음 세 가지 속성을 충족합니다.
- $ R (u + v) = 모든 벡터 $ u, v $ 에 대한 R (u) + R (v) $ (즉, 두 벡터를 합한 다음 결과를 회전하면 회전하는 것과 동일 함 두 벡터를 먼저 합산하기 전에).
- $ R, S $ 가 시계 반대 방향의 각도 회전 인 경우 $ t, u $ 는 각각 $ R∘S $ 는 반 시계 방향 각도 회전입니다. $ t + u $ .
- $ R $ 이 시계 반대 방향 각도 회전 인 경우 $ t $ 이후 :
a. $ R (⟨x, 0⟩) = ⟨x · \ cos (t), x · \ sin (t)⟩ $ 모든 실제 $ x $ .
b. $ R (⟨0, y⟩) = ⟨-y · \ sin (t), y · \ cos (t)⟩ $ 모든 실제 $ y $ .
이러한 속성을 회전에 대한 공리 (가정)로 취할 수 있습니다. 결국 $ R $ 가이를 충족하지 못하면 $ R $ 를 시작합니다. 그 이유를 알아보기 위해 속성 (1)은 연결된 두 개의 막대를 회전 시키면 두 막대가 연결되는 위치를 유지하면서 회전 각도만큼 두 막대를 회전한다는 직관을 포착합니다. 속성 (2)은 속성 (3)과 함께 만 필요합니다. 속성 (3a)은 $ \ cos, \ sin $ 의 정의를 따르고 속성 (3b)은 회전 된 동일한 정의 $ 90 ° $ 시계 반대 방향.
속성 (1) 및 (3)은 2d 회전의 매트릭스 형태를 산출합니다.
$ R $ 이 $ t $ 각도의 반 시계 방향 회전 인 경우, 그런 다음 $ R = \ small \ pmatrix {\ cos (t) &-\ sin (t) \\ \ sin (t) & \ cos (t)} $ .
그리고 속성 (2)를 사용하여 가져 오기 :
$ \ small \ pmatrix {\ cos (t + u) &-\ sin (t + u) \\ \ sin (t + u) & \ cos (t + u)} = \ pmatrix {\ cos ( t) &-\ sin (t) \\ \ sin (t) & \ cos (t)} \ pmatrix {\ cos (u) &-\ sin (u) \\ \ sin (u) & \ cos (u)} $ 모든 실수 $ t, u $ .
오른쪽의 행렬 곱을 곱하고 왼쪽의 행렬과 비교하면 즉시 각도가됩니다. 합계 ID :
$ \ cos (t + u) = \ cos (t) · \ cos ( u)-\ sin (t) · \ sin (u) $ 모든 실수 $ t, u $ .
$ \ sin (t + u) = \ cos (t) · \ sin (u) + \ sin (t) · \ cos (u) $ 모든 실수 $ t, u $ .
합계에 대한 삼각 함수를 포함하는 식을 단순화하려는 경우 각도에서 이러한 ID를 사용하여 pan class = “math-container”측면에서 표현식을 줄 이도록 고려해야합니다. > $ \ cos, \ sin $ 가능한 한 적은 각도로.
사실 모든 삼각법 i 산술 연산과 삼각 함수만을 포함하는 덴 티티는 위의 정의와 주요 대수적 사실을 사용하여 증명할 수 있습니다. 흥미롭게도 대칭 속성조차도 다음과 같이 대수적으로 증명할 수 있습니다.
실제 $ t $ 가 주어지면 :
$ 1 = \ cos (t + (-t)) = \ cos (t) · \ cos (-t)-\ sin (t) · \ sin (-t) $ 스팬>. [각도 합계]
$ 0 = \ sin (t + (-t)) = \ cos (t) · \ sin (-t) + \ sin ( t) · \ cos (-t) $ . [각도-합]
$ \ cos (t) = \ cos (t) ^ 2 · \ cos (-t)-(\ cos (t) · \ sin (-t)) · \ sin (t) $
$ = \ cos (t) ^ 2 · \ cos (- t) + (\ sin (t) · \ cos (-t)) · \ sin (t) $
$ = (\ cos (t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2) · \ cos (-t) $
$ = \ cos (-t ) $ .
$ \ sin (t) = (\ sin (t) · \ cos (-t)) · \ cos (t )-\ sin (t) ^ 2 · \ sin (-t) $
$ =-(\ cos (t) · \ sin (-t)) · \ cos (t)-\ sin (t) ^ 2 · \ sin (-t) $
$ = -\ sin (-t) · (\ cos (t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2) $
$ =- \ sin (-t) $ .
실제 분석을 진행하려면 다음과 같은 사실이 필요합니다.이 사실은 당분간 공리로 받아 들여지고 나중에 별도로 정당화 될 수 있습니다.
- $ \ sin “= \ cos $ .
- $ \ cos “=-\ sin $ .
전과 마찬가지로 모든 n 이로 축소되므로 더 이상 아무것도 외울 필요가 없습니다 (편리 할 수 있지만).
복잡한 삼각법
개인적으로, 분석 . 하나는 간단히 정의합니다. $ \ def \ rr {\ mathbb {R}} \ def \ cc {\ mathbb {C}} \ def \ lfrac # 1 # 2 {{\ large \ frac {# 1} {# 2}}} $
$ \ exp (z ) : = \ sum_ {k = 0} ^ ∞ \ lfrac {z ^ k} {k!} $ 모든 컴플렉스 $ z $ (이후 합계가 수렴된다는 것을 증명).
$ \ cos (z) : = \ lfrac {\ exp (iz) + \ exp (-iz)} {2} $ .
$ \ sin (z) : = \ lfrac {\ exp (iz)-\ exp (-iz)} {2i} $ .
$ π $ 는 $ \ cos $ 의 첫 번째 양근의 두 배입니다 ( 존재 함을 증명 한 후).
동기 부여는 $ \ exp : \ cc → \ cc $ : $ \ exp “= \ exp $ 및 $ \ exp (0) = 1 $ , 일반 선형 미분 방정식을 풀 수 있고 $ \ cos, \ sin : \ rr → \ rr $ 이 $ \ cos “”=-\ cos $ 및 $ \ sin “”=-\ sin $ 및 $ ⟨\ cos (0), \ cos “(0)⟩ = ⟨1,0⟩ $ 및 $ ⟨\ sin (0 ), \ sin “(0)⟩ = ⟨0,1⟩ $ , 단순 조화 운동을 풀 수 있도록, 테일러 확장은 $ \ exp, \ cos, \ sin $ 에 대한 위의 정의를 가져 오며 전체 복잡한 평면에서 수렴하는 것을 증명할 수 있습니다. 위의 $ π $ 정의는 어떤 지오메트리에도 의존하지 않는 가장 쉬운 정의입니다. (이 동기에 대한 자세한 내용은 이 게시물 을 참조하십시오.)
이러한 정의를 사용하면 기본 분석으로 증명할 수 있습니다. $ \ exp, \ cos, \ sin $ 가 원하는 동기 부여 속성과 다른 주요 속성 iv $ \ exp $ 의 id = “745d5f6ddf”>
:
$ \ exp (z + w) = \ exp (z) · \ exp (w) $ 모든 복합 $ z, w $ .
이 속성을 사용하면 대수적 조작만으로 모든 삼각 ID를 증명할 수 있습니다. 실제 변수).
예를 들어 복잡한 $ z $ :
$ \ cos (z) ^ 2 + \ sin (z) ^ 2 = \ lfrac {(\ exp (iz) + \ exp (-iz)) ^ 2} {4}-\ lfrac {(\ exp (iz)-\ exp (-iz)) ^ 2} {4} $
$ = \ exp (iz) · \ exp (-iz) = \ exp (0) = 1 $ .
그럼에도 불구하고 여전히 첫 번째가 더 쉽습니다. $ \ cos, \ sin $ 에 대해 동일한 주요 대수 사실을 증명 한 다음 모든 것을 $ \ exp $ .
댓글
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답변
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