Fermi Surface 란 무엇인가요? 이 질문이이 포럼에 너무 기초적이지 않기를 바라며, 만약 그렇다면 미리 사과드립니다.

혼란을 설명하겠습니다. 견고 함을 감안할 때 Fermi 수준에 대한 느낌이 있다고 생각합니다. 예를 들어 시스템의 전자에 대한 에너지 준위의 Fermi-Dirac 분포에서 특성 매개 변수 $ \ mu $ 로 이해할 수 있습니다. $$ f (\ epsilon) = \ frac {1} {e ^ {(\ epsilon- \ mu) / kT} +1} $$ 다른 물리적 해석을 무시합니다. 따라서 점유 확률이 1/2 인 고유 한 에너지 수준입니다.

반면에 Fermi 표면의 정의는 일반적으로 “에너지가있는 상태의 등표면”으로 지정됩니다. 파동 벡터 $ k $ 의 3 차원 공간에서 “Fermi 수준과 같음”(예 : 다음 Wikipedia 기사) :

https://en.wikipedia.org/wiki/Electronic_band_structure

즉, $ k $ 는 $$ E (k) = \ mu. $$ 입니다. 문제는 $ E (k) $ 가 무엇인지 잘 모르겠다는 것입니다.

한 가지 상황은 간단 해 보입니다. 즉 Fermi 동일한 입자의 기체. 그런 다음 $$ E (k) = \ frac {k ^ 2} {2m} $$ 및 Fermi 표면은 구입니다. 우리는 Bloch 이론에 대한 일반적인 이상화 된 모델 인 무한 주기적 잠재력에 있습니다. 그러면 슈뢰딩거 방정식의 해는 $$ \ psi_ {kn} (r) = e ^ {ik \ cdot r} u_ {kn} (r), $$ 여기서 $ u_ {kn} $ 는주기 함수이고 $ n $ 는 에너지 수준에 대한 이산 지수입니다. 즉, 각 파동 벡터에 대해 $ k $ , p>

많은 에너지 수준이 있습니다 $ E_n (k) $ .

그러므로 Fermi 표면은 실제로 $$ E_n (k) = \ mu. $$ 제 질문처럼 보일 것입니다. 페르미 표면의 정의에서 발생하는 $ E (k) $ 의 에너지 수준은 무엇입니까? 모든 레벨 $ n $ 에 대해 하나의 Fermi 표면이 있습니까? (수준이 모멘텀 공간에 걸쳐 지속적으로 변한다고 가정하여 다양한 $ k $ 에 대한 수준을 일관되게 인덱싱 할 수 있습니다.)

가능하다면 내 혼란에 대해 좀 더 자세히 설명하겠습니다.이 질문에 대한 이 답변 의 정의를 잘 이해하지 못합니다.

Fermi 표면이란 무엇이며이 개념이 금속 연구에 유용한 이유는 무엇인가요?

“페르미 표면은 단순히 상호 작용이없는 한계에서 모든 페르미온 상태가 (결정) 운동량을 갖는 운동량 공간의 표면입니다. $ | k | < | k_F | $ 가 점유되고 모든 더 높은 운동량 상태는 비어 있습니다. “

한 가지는 위에서 언급했듯이 모든 추진력 $ k $ 에 대해 페르미온 상태의 무한한 시퀀스입니다. 또 다른 문제는 페르미온 상태를 어떻게 든 선택할 수 있었음에도 위의 문장이 고유 한 표면을 정의하는지 확신하지 못한다는 것입니다. $ 문이 참조하는 각 $ k $ 에 대해 \ psi (k) $ . (이 점을 설명하기 위해 그림을 그려야합니다.이 점은 제가 할 능력이 없습니다.)

댓글

  • The Fermi 표면은 절대 영도에서 정의됩니다. 따라서지면 상태 솔루션 $ E_0 (k) = \ mu $ …
  • 그리고 솔리드에서 ( Wigner-Seitz) 단위 세포.
  • Lemon : 그것도 꽤 혼란 스럽습니다. 그래서 당신의 진술은 ' Fermi 표면은 $ k $의 세트입니다. $ E_0 (k) = \ mu $, ' 여기서 $ E_0 (k) $는 운동량이 $ k $ 인 가장 낮은 에너지입니다. 낮은 에너지 대역이 채워지면 페르미 수준 이상의 전자가 많이있을 것입니다. 이것은 일반적인 그림과 일치하지 않는 것 같습니다.
  • Jon Custer : 당신이 생각합니다 '는 $ u_ {kn} $ 각각이 셀의 값에 의해 결정된다는 사실을 나타냅니다. '는 사실입니다.하지만 진한 세포에 들어갔다 . ($ u_ {kn} $는 주기적입니다.) 어쨌든 '이 질문에 대한 답을 볼 수 없습니다.표현하는 방식은 각 $ k $에 대해 '처럼 들리게하고, 고유 한 $ \ psi_ {kn} $가 세포에 집중되어 있습니다. Fermi 표면을 정의하는 데 사용합니다. ' 이것은 다양한 이유로 인해 ' 올바르게 들리지 않습니다.

답변

모든 말이 정확합니다. 페르미 표면은 모든 밴드 $ n $에 대해 $ E_n (k) = \ mu $와 같은 점의 집합 $ k $로 정의됩니다. 그러나 일반적으로 밴드는 상대적으로 멀리 떨어져 있으며 다음과 같이 에너지가 겹치지 않습니다.

이미지 입력 여기에 설명

보시다시피 밴드 1과 3은 화학적 전위 $ \ mu $보다 완전히 위 또는 완전히 아래에 있으므로 Fermi 표면을 결정하는 데 관련이 없습니다 ( 실제로 저온에서 이러한 밴드는 모든 물리적 현상과 거의 관련이 없습니다. 화학적 전위 근처의 밴드 만 물리적으로 중요합니다. 따라서 실제로는 고려하는 것만으로도 벗어날 수 있습니다. 하나 또는 두 개의 밴드와 다른 모든 밴드를 완전히 무시합니다. 페르미 표면 (예 : 화학적 전위가 밴드와 교차)이 있으면 하나의 밴드로 거의 항상 충분합니다.

더 복잡하거나 특이한 경우 예를 들어, 때때로 밴드가 닿거나 교차 할 수 있으며 화학적 전위를 cr에 정확히 맞추면 재미있는 일이 발생할 수 있습니다. 골점. 더욱 특이하게도 두 개의 대역이 전체 유한 한 에너지 범위를 공유 할 수 있습니다. 두 개의 코사인 곡선이 수직으로 약간 이동했습니다. 그러나 이러한 경우는 매우 드뭅니다. 대부분의 일상적인 재료의 경우 $ \ mu $는 최대 하나의 밴드에 있으며 이에 대해 걱정할 필요가 없습니다. (사실 전문 물리학 자들은 화학적 잠재력이있는 특이한 재료를 찾고 / 만들기를 좋아합니다. 밴드 교차점에 바로 앉습니다. 정확히 왜냐하면 그러한 시스템은 이론적으로 잘 이해되지 않았기 때문에 배울 것이 더 많기 때문입니다.)

BTW, 위의 플롯과 같이 1 차원에서 Fermi “표면”은 $ k $의 고립 된 값으로 구성되지만 2 차원에서는 일반적으로 $ k_x $-$ k_y $ 평면의 닫힌 곡선입니다. , 3D에서는 일반적으로 구처럼 닫힌 표면입니다. 때때로 Fermi 표면은 실제로 두 (또는 그 이상)의 구로 구성 될 수 있습니다. 하나는 내부에 다른 하나는 채워진 ” Relavant 밴드의 Fermi sea “는 그들 사이에 그 사이 에 놓여 있습니다.이 현상을”Fermi surface nesting “이라고합니다.하지만 Fermi 표면에 대해 방금 배우고 있다면 이것에 대해 걱정할 필요가 없습니다. 오랜 시간 동안 복잡한 상황.

댓글

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  • 명확한 답변에 감사드립니다. 참고로 ' ' band '라는 단어가 사용되었으므로 고체 물리학에서 두 가지 방법으로 여기서 사용하는 단어는 에너지 수준을 나타냅니다. 그러나 에너지 레벨의 본질적으로 연속적인 분포라는 개념도 있습니다. 그 사이에는 ' 갭이 있습니다. ' 제 생각에는 내 혼란의 주요 부분이었습니다. 제가 ' 이에 대해 틀렸다면 정정 해주세요.
  • @MinhyongKim A " 밴드 "는 주어진 $ n $ 값에 대해 단일 곡선 $ E_n (k) $로 정의됩니다. ('을 " 에너지 수준 "이라고 부르는 것이 다소 오해의 소지가 있다고 생각합니다. 함수는 일반적으로 일정하지 않으므로 전체 유한 한 에너지 간격에 걸쳐 값을 사용합니다. 사람들은 때때로 용어를 남용하고 " band " 함수가 범위에 해당하는 에너지 간격을 나타냅니다 (예 : 운동량 의존성 축소). ' 사람들이 " 밴드 갭에 대해 이야기 할 때 이것이 생각하는 것이 맞습니다. "하지만 " band "의 두 가지 감각은 실제로 거의 동일합니다 …
  • .. . 유일한 차이점은 $ k $에 대한 의존성을 추적하거나 함수 '의 범위를 고려하는지 여부입니다.
  • 추가 설명에 감사드립니다. 그러나 두 가지 감각을 구별하는 것이 다소 중요해 보입니다. 전자 밴드 구조의 의미에서 ' band '라는 단어가 사용 된 경우 방정식 $ E_n (k) = \ mu $는 고정 값 $ n $에 대해서도 ' 잘 정의되지 않습니다. 이것은 저와 같은 초보자에게 매우 혼란스러운 것 중 하나였습니다. 어쨌든 다시 한 번 감사드립니다!

Answer

Fermi 표면은 상호 공간의 표면입니다 ( 당신이 살고있는 실제 공간의 이중) 페르미온 점유 상태를 0 온도에서 fermionic 비 점유 상태와 구분합니다.따라서 그것은 에너지 건설 이라기보다는 모멘텀 ($ k $) 건설입니다.

논리는 다음과 같습니다. 주어진 수의 페르미온을 모두 모으십시오. 그들은 Pauli 배제 원칙을 따르기 때문에 이러한 fermions를 원하는 방식으로 포장 할 수 없습니다. 운동량 공간에 상태를위한 공간이있을 때마다 페르미온 하나만이 빈 공간을 차지할 수 있습니다. 따라서 페르미온을 쌓기 시작해야합니다. 책장을 책으로 채우는 것과 완전히 유사합니다. 이전 행이 가득 차면 다음 행을 사용해야합니다. 원시 사이에 더 작은 간격을 사용하고 각 원시의 크기를 확대 할 수 있습니다. 책이 너무 많으면 다음 원시를 사용할 수 있습니다. 이는 분산 관계에서 다음 모멘텀 분기를 사용하는 것입니다 $ k_n (E) $). 마지막 페르미온을 페르미온 책장 에 넣으면 해당 운동량 상태는 페르미 운동량, 해당 에너지는 페르미 에너지, …, 그리고 iso- $ k $의 표면이라고합니다. 페르미 운동량에서 페르미 표면이라고합니다.

지금 몇 가지 언급

  • 무한 을 채우는 데 사용되는 분기 수가 무한 수는 없습니다. em> 분산 관계의 페르미온 수 (원하는 경우 재료의 밴드 구조).

  • 페르미 표면에 여러 시트가 있다고 가정하는 데 모순이 없습니다. Wikipedia 에서도 전자와 정공 포켓이있는 Fermi 표면의 예가 이미 있습니다.

  • Fermi 표면의 개념 (Fermi-Dirac) 통계의 개념에서 비롯된 반면, 처리 할 입자 수가 유한 한 경우 (고대 용어로는 두 번째 정량화 된 문제임) 밴드 구조는 하나에 대해 사용 가능한 상태의 완전한 스펙트럼입니다. (고대 용어로는 최초의 정량화 된 문제) 주기적 잠재력에서 입자. 한 곳에서 다른 곳으로 이동하는 쉬운 방법은 에너지 상태 당 입자 수 (더 정확하게는 열역학 시스템에 입자를 추가하는 데 필요한 에너지의 양)를 고정하는 화학적 전위를 사용하는 것입니다.

  • Fermi 표면은 순수한 금속 및 도핑 된 반도체와 같은 단순한 밴드 구조를 가진 재료에 대한 몇 가지 전달 특성 (전기, 열, … 전달)을 이해하는 데 특히 유용한 개념입니다. 페르미 표면이 너무 복잡해지면 직관을 얻기가 어려워집니다. 이것이 질문의 개념에 대한 오해의 핵심이라고 생각합니다.

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