Fineman-Kac 정리는 $$ dX_t = \ mu (t, X_t) dt + \ sigma (t) 형식의 Ito 프로세스에 대해 설명합니다. , X_t) dW_t $$ $$ g_t (t, x) + g_x (t, x) \ mu (t, x) + \ frac {1} {2} g_ {xx와 같은 측정 가능한 함수 $ g $가 있습니다. } (t, x) \ sigma (t, x) ^ 2 = 0 $$, 적절한 경계 조건 $ h $ : $ g (T, x) = h (x) $. 또한 $ g (t, x) $가 $$ g (t, x) = \ mathbb {E} \ left [h (X_T) \ big | X_t = x \ right]. $$
이것은 확률 적 과정에 관계없이 미분 방정식을 풀면 $ T $에 지불 함수 $ h (x) $ 옵션의 가격을 책정 할 수 있음을 의미합니다.
미분 방정식에 확률 적 구성 요소가 없는데도 미분 방정식에 의해 Ito- 프로세스의 확률 적 동작을 모델링 할 수있는 직관적 인 설명이 있습니까?
Comments
- 예상치에서 $ h (X_t) $ 대신 $ h (X_T) $를 사용해서는 안됩니다. ' ?
답변
Martingales + Markovian
여기에 동기 부여가 있습니다. 조건부 기대는 조건부 기대 (보이기 쉬운 연습)의 타워 속성에 의한 마틴입니다. 위험 중립 가격 정리에 의해 $ r = 0 $라고 가정합니다. $ E ^ \ star \ left [h (X_T) \ bigg | \ mathscr {F} _t, \, X_t = x \ right] $는 파생 상품의 가격입니다. 기본 자산으로 $ X $를 사용하고 보상 함수 $ h $를 사용하여 기본 증권과 파생 상품 자체가 중간 현금 흐름을 지불하지 않는다고 가정합니다. 마르코 비안 환경에서 파생 상품의 가격은 현재 자산 가격과 만기 시간의 측정 가능한 함수 인 경우 여야합니다. 예를 들어 함수 $ g (t, x) $. 그런 다음 Ito의 기본형 $ d (g (t, x)) = \ ldots $에 의해. $ g $는 (이동 된) 마틴 게일이므로 드리프트 항은 0과 같아야합니다 . 경계 조건은 차익 거래 없음에서 비롯됩니다. 처음에 제공된 정의에서 $ g (T, x) $가 무엇인지 확인하여이를 확인하십시오 (조건부 기대치를 취할 때 측정 가능성을 기억하십시오).
댓글
- 감사합니다. $ \ mathscr {F} _t $은 무엇입니까?
- 여과의 시그마 대수입니다. en.wikipedia.org/wiki/Filtration_(mathematics)
- @ user25064-내 대답을 아주 잘 칭찬합니다 +1
- @Raphael-$ \ mathscr을 생각해보세요 F_t $는 $ t $까지 사용할 수있는 정보입니다. 세로 막대는 " 주어진 "로 표시되므로 해당 기대 값을 쓸 때 그 전에는 ' 전혀 기대하지 않고 상수와 같은 방식으로 나올 수 있습니다. $ E [X_ {t- \ epsilon} | \ mathscr F_t ] = X_ {t- \ eps ilon} $. 이 책에는 조건부 기대에 대한 비교적 좋은 설명이 있습니다.
답변
Feynman-Kac 정리는 주로 가격 책정 맥락에서 의미가 있습니다. 어떤 함수가 Feynman-Kac 방정식을 해결한다는 것을 알고 있다면 그 해결책을 프로세스에 대한 기대치로 나타낼 수 있습니다. (이 문서를 참조 )
반면 가격 책정 함수는 FK-PDE를 해결합니다. 따라서 종종 폐쇄 형식 가격 책정 공식을 얻기 위해 PDE를 해결하려고합니다. ( 페이지 22로 시작하는 문서 )
당신은 확률 적 과정을 시뮬레이션하기 위해 Feynman-Kac을 사용하지 않을 것입니다. 반면에 FK-PDE에 대한 솔루션을 찾기 위해 확률 적 프로세스를 사용할 수 있습니다 ( 여기 참조 )
2014 년 2 월 26 일 수정 : 전환 밀도와 FK-PD 사이의 연결을 설명하려는 문서를 찾았습니다 ( 5 페이지부터 시작 )
또한 분해에 사용할 수있는 FK-Formula와 Sturm-Liouville 방정식 사이에 연결이 있습니다. Brownian 경로의. (이 문서 참조 )
댓글
- 링크에 감사드립니다! 귀하의 게시물은 Feynman-Kac 정리의 여러 응용 프로그램 및 용도를 설명합니다. 이 시점에서 나의 주요 관심은 정리가 진실 인 이유, 즉 정리 뒤에있는 직관을 이해하는 것입니다.
- 여기서 증명을 제안합니다 : en. wikipedia.org/wiki/Feynman%E2%80%93Kac_formula 증명을 읽는 것은 종종 정리가 어떻게 존재하는지 이해하는 데 도움이됩니다. 아니면 Phyiscs 관점의 설명에 관심이 있습니까?
답변
내 생각 PDE는 시간 종속 확률 분포의 흐름을 설명합니다. 확률 적 프로세스는 개별 실현 (드리프트와 함께 무작위로 걷기)을 설명하지만 많은 수를 실행하면 배포를 구축합니다.
PDE는 결정 론적 드리프트 (두 번째 용어) 및 확산 ( “많은 무작위 보행기”와 확산 사이의 연결 인 세 번째 용어)으로 인해 시간 (첫 번째 용어)에 분포가 어떻게 변하는지를 말합니다. 평균적으로 얼마나 멀리 있는지를 나타내는 확률 분포). 일반적으로 확률 분포는 알려진 초기 조건으로 인해 델타 함수로 시작됩니다.
댓글
- 약간 혼란 스럽습니다. 드리프트 및 변동성을 제외하고 가격 책정 함수 $ g (t, x) $의 PDE를 얻었습니다. 분포와 관련하여 FK-PDE에서 얻을 수있는 정보가 많지 않습니다.
답변
두 단계로이 답에 접근하겠습니다.
먼저, 주어진 확률 적 PDE에 대해 밀도를 나중에 진화시키는 결정 론적 PDE가 존재한다는 것이 매우 직관적이라는 것을 알았습니다. 이 방정식은 순방향 Kolmogorov 또는 Fokker-Plank 방정식입니다. 왜 직관적입니까? 하나는 또한 브라운 운동의 미래 분포를 알고 있습니다 (정의에 따라). 더 복잡한 확률 용어에 대해 이러한 변화가 왜 변경되어야합니까?
둘째, 순 방정식을 얻으면 “수학의 문제이기도합니다.” 시간이 역전 된 버전을 도출하세요. 이것은 Feynman-Kac 방정식이며 시간에 따라 분포를 거꾸로 전파합니다.